Sejam A e B bases ordenadas do R^3. considere a matriz de mudança de base abaixo, cujas colunas são as coordenadas dos vetores de A com respeito à base B.
M=[rrr 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 ]
Seja u=(-2,3,3)A, ou seja, -2,3 e 3 são, nessa ordem, as coordenadas de u com respeito à base A.
Se (a, b, c)B são as coordenadas com respeito à base B, então a+b+c é:

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz de mudança de base M cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. Também temos o vetor u cujas coordenadas em A são
[u]A = -233
O conteúdo que usamos é a fórmula de conversão de coordenadas entre bases:
[u]B ;=; M,[u]A

Passo 2

Aplicando a fórmula, escrevemos
[u]B = M ,-233

Passo 3

Calculamos o produto matricial componente a componente:
M-233 = 0cdot(-2)+(-1)cdot3+(-2)cdot3 1cdot(-2)+0cdot3+(-1)cdot3 1cdot(-2)+1cdot3+0cdot3 = -3-6 -2-3 -2+3 = -9 -5 1
Assim, (a,b,c)B=(-9,-5,1).

Passo 4

Somamos as coordenadas em B:
a+b+c = -9 + (-5) + 1 = -13

Resposta

O valor de a+b+c é -13.

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