\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+4 t y=\left(1+t^{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+t^{2})\,y'+4t\,y=(1+t^{2})^{2}
e pede que se encontre a solução geral y(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a função desconhecida y(t) e sua derivada y'(t).
  • Os coeficientes são funções de t: 1+t^{2} e 4t.
  • O termo do lado direito é (1+t^{2})^{2}.
  • Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral com uma constante arbitrária C.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão que facilita a resolução (dividindo por 1+t^{2}, que nunca é zero). Isso produz uma equação com a derivada isolada:
y'+\frac{4t}{1+t^{2}}\,y=1+t^{2}.
Explicação didática: aqui escrevemos a equação no formato
y'+p(t)\,y=q(t),
onde p(t)=\dfrac{4t}{1+t^{2}} e q(t)=1+t^{2}. Esse é o formato padrão para aplicar o método do fator integrante (um método simples e sistemático para equações lineares de primeira ordem).

Passo 3

Encontrar o fator integrante \mu(t). Regra: escolher \mu(t) tal que \mu'(t)=\mu(t)\,p(t). Isso implica
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Calcule a integral de p(t):
\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt.
Fazendo a substituição u=1+t^{2}, du=2t\,dt, obtemos
\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt=\int \frac{2\,du}{u}=2\ln|u|=2\ln(1+t^{2}),
já que 1+t^{2}>0 para todo t. Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(2\ln(1+t^{2})\big)=(1+t^{2})^{2}.
Comentário didático: o fator integrante transforma a equação de forma que o lado esquerdo passe a ser a derivada simples de \mu(t)y(t).

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=(1+t^{2})^{2}. Assim:
(1+t^{2})^{2}y'+(1+t^{2})^{2}\frac{4t}{1+t^{2}}y=(1+t^{2})^{3}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
(1+t^{2})^{2}y'+4t(1+t^{2})y=(1+t^{2})^{3}.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (1+t^{2})^{2}y. Ou seja:
\frac{d}{dt}\big[(1+t^{2})^{2}y\big]=(1+t^{2})^{3}.
Explicação didática: isso acontece porque, por construção, \mu'(t)=\mu(t)p(t), então \mu y' + \mu p y = (\mu y)'.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})^{2}y=\int (1+t^{2})^{3}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos calcular \int(1+t^{2})^{3}\,dt. Desenvolvendo o polinômio:
(1+t^{2})^{3}=1+3t^{2}+3t^{4}+t^{6}.
Integramos termo a termo:
\int(1+t^{2})^{3}\,dt=\int 1\,dt+3\int t^{2}\,dt+3\int t^{4}\,dt+\int t^{6}\,dt.
Calculando cada integral:
\int 1\,dt=t,\qquad \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3},\qquad \int t^{4}\,dt=\frac{t^{5}}{5},\qquad \int t^{6}\,dt=\frac{t^{7}}{7}.
Substituindo com os coeficientes:
\int(1+t^{2})^{3}\,dt=t+3\cdot\frac{t^{3}}{3}+3\cdot\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{7}}{7} = t+t^{3}+\frac{3}{5}t^{5}+\frac{1}{7}t^{7}.

Passo 6

Substituir a integral encontrada na expressão para (1+t^{2})^{2}y:
(1+t^{2})^{2}y=t+t^{3}+\frac{3}{5}t^{5}+\frac{1}{7}t^{7}+C.
Agora isolar y(t) dividindo por (1+t^{2})^{2}:
y(t)=\frac{t+t^{3}+\dfrac{3}{5}t^{5}+\dfrac{1}{7}t^{7}+C}{(1+t^{2})^{2}}.
Observação didática: C é a constante arbitrária que aparece ao integrar; sem condição inicial esse é o parâmetro que descreve a família de soluções.

Passo 7

Checagem rápida (para me deixar mais confiante e você também): derivando formalmente (1+t^{2})^{2}y usando a solução e comparando com (1+t^{2})^{3} a igualdade se mantém — esse é o teste padrão para verificar soluções de equações diferenciais.

Resposta

y(t)=\dfrac{t+t^{3}+\dfrac{3}{5}t^{5}+\dfrac{1}{7}t^{7}+C}{(1+t^{2})^{2}}

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