Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede que se encontre a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve a função desconhecida
e sua derivada . - Os coeficientes são funções de
: e . - O termo do lado direito é
. - Não foi dada condição inicial, então buscamos a solução geral com uma constante arbitrária
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão que facilita a resolução (dividindo por
, que nunca é zero). Isso produz uma equação com a derivada isolada:
Explicação didática: aqui escrevemos a equação no formato
onde
e
. Esse é o formato padrão para aplicar o método do fator integrante (um método simples e sistemático para equações lineares de primeira ordem).
Passo 3
Encontrar o fator integrante
. Regra: escolher
tal que
. Isso implica
Calcule a integral de
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
já que
para todo
. Portanto
Comentário didático: o fator integrante transforma a equação de forma que o lado esquerdo passe a ser a derivada simples de
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Assim:
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja:
Explicação didática: isso acontece porque, por construção,
, então
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Precisamos calcular
. Desenvolvendo o polinômio:
Integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo com os coeficientes:
Passo 6
Substituir a integral encontrada na expressão para
:
Agora isolar
dividindo por
:
Observação didática:
é a constante arbitrária que aparece ao integrar; sem condição inicial esse é o parâmetro que descreve a família de soluções.
Passo 7
Checagem rápida (para me deixar mais confiante e você também): derivando formalmente
usando a solução e comparando com
a igualdade se mantém — esse é o teste padrão para verificar soluções de equações diferenciais.