\left(0,5\right. pontos) Utilize a regra de L’Hospital para calcular \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 \ln (4 x)}{\sqrt{3 x}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{5\ln(4x)}{\sqrt{3x}}
usando a regra de L’Hospital. Esse limite +\infty/+ \infty ’, então podemos aplicar L’Hospital, que nos autoriza a derivar numerador e denominador separadamente.

Passo 2

Verificamos a indetermina\c{c}~ao:
\lim_{x\to+\infty}5\ln(4x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x}=+\infty.
Logo temos \frac{+\infty}{+\infty}, condi\c{c}~ao para usar L’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
Derivada de 5\ln(4x):
\frac{d}{dx}\bigl(5\ln(4x)\bigr) =5\cdot\frac{1}{4x}\cdot4 =\frac{5}{x}.
Derivada de \sqrt{3x}: escrevendo \sqrt{3x}=\sqrt{3}\,x^{1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{3}\,x^{1/2}\bigr) =\sqrt{3}\cdot\frac12x^{-1/2} =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}.
Pela regra, o limite passa a ser
\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}}.

Passo 4

Simplificamos essa expressão:
\frac{\frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}} =\frac{5}{x}\cdot\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{3}} =\frac{10\sqrt{x}}{\sqrt{3}\,x} =\frac{10}{\sqrt{3}}\,\frac{1}{\sqrt{x}}.
Como \frac{1}{\sqrt{x}}\to0 quando x\to+\infty, esse limite vale 0.

Resposta

0

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