\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-z=1 \\\ x-y+2 z=3 \\\\ 3 x+2 y+z=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede que a gente encontre os valores de x\), \(y\) e \(z\). As informações fornecidas são: \[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] x-y+2z=3,\\[4pt] 3x+2y+z=10. \end{cases}
Ou seja, temos três equações que relacionam as mesmas três incógnitas x\], \(y e z. Nosso objetivo é achar os números \,x,\;y,\;z que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.]

Passo 2

Escolho o método de eliminação (eliminação de Gauss) porque é direto para sistemas 3×3 e permite reduzir passo a passo até obter equações com menos incógnitas. Rápido lembrete do que é permitido em eliminação: podemos trocar equações de ordem, multiplicar uma equação por um número não nulo e somar a uma equação um múltiplo de outra — essas operações não mudam o conjunto de soluções. A ideia é usar uma equação para eliminar uma incógnita das demais, repetindo até obter equações fáceis de resolver.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, troco a ordem das equações colocando como primeira a equação que tem coeficiente 1 em x (isso evita frações logo no começo). Troco a primeira e segunda equação:
\begin{cases} x-y+2z=3,\\[4pt] 2x+y-z=1,\\[4pt] 3x+2y+z=10. \end{cases}
Essa troca é só reordenar; a solução do sistema não muda.]

Passo 4

Agora uso a primeira equação para eliminar x das equações 2 e 3. Faço as operações:
\text{(i)}\quad \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1, \qquad \text{(ii)}\quad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\text{R}_1.
Vou calcular cada uma explicitamente.

Passo 5

Calculemos \text{R}_2 - 2\text{R}_1.
Partindo de \text{R}_2: 2x+y-z=1 e \text{R}_1: x-y+2z=3,
2x+y-z - 2(x-y+2z) = 2x+y-z -2x +2y -4z = 3y-5z.
No lado direito: 1 - 2\cdot 3 = 1-6 = -5.
Logo a nova \text{R}_2 é
3y-5z=-5.

Passo 6

Calculemos \text{R}_3 - 3\text{R}_1\). Partindo de \(\text{R}_3: 3x+2y+z=10\), \[3x+2y+z - 3(x-y+2z) = 3x+2y+z -3x +3y -6z = 5y-5z.
No lado direito: 10 - 3\cdot 3 = 10-9 = 1.
Logo a nova \text{R}_3 é
5y-5z=1.
Agora o sistema reduzido ficou:
\begin{cases} x-y+2z=3,\\[4pt] 3y-5z=-5,\\[4pt] 5y-5z=1. \end{cases}
Reparou? Eliminamos x\] das duas últimas equações, sobrando um sistema em \(y e z.]

Passo 7

Agora eliminamos y entre as duas equações que restaram. Uma estratégia é usar combinação inteira para evitar frações: multiplico a segunda equação por 5 e a terceira por 3, assim os coeficientes de y ficam iguais:
5\cdot(3y-5z) = 15y-25z = -25,
3\cdot(5y-5z) = 15y-15z = 3.
Agora subtraio as duas equações para eliminar y:
(15y-25z) - (15y-15z) = -25 - 3.
No lado esquerdo isso dá -10z, no direito dá -28. Então
-10z = -28 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{28}{10}=\frac{14}{5}.
Então encontramos \displaystyle z=\frac{14}{5}.

Passo 8

Com z em mãos, volto a uma das equações que envolvem y e z para achar y. Uso \,3y-5z=-5. Substituindo z=\frac{14}{5}:
3y - 5\cdot\frac{14}{5} = -5 \quad\Rightarrow\quad 3y -14 = -5.
Assim
3y = -5 +14 =9 \quad\Rightarrow\quad y= \frac{9}{3}=3.
Portanto \,y=3.

Passo 9

Finalmente encontro x substituindo y e z na primeira equação \,x-y+2z=3. Substituindo y=3 e z=\frac{14}{5}:
x - 3 + 2\cdot\frac{14}{5} = 3.
Calculo 2\cdot\frac{14}{5}=\frac{28}{5}. Escrevo -3 como -\frac{15}{5} para somar frações:
x +\left(-\frac{15}{5}+\frac{28}{5}\right) = 3 \quad\Rightarrow\quad x + \frac{13}{5}=3.
Então
x = 3 - \frac{13}{5} = \frac{15}{5}-\frac{13}{5} = \frac{2}{5}.

Passo 10

Verificação rápida (boa prática na prova): substituo \,x=\frac{2}{5},\;y=3,\;z=\frac{14}{5} na terceira equação original 3x+2y+z=10:
3\cdot\frac{2}{5}+2\cdot 3 + \frac{14}{5} = \frac{6}{5}+6+\frac{14}{5} = \frac{20}{5}+6 =4+6=10,
confere. Então a solução está correta.

Resposta

\displaystyle x=\frac{2}{5}
\displaystyle y=3
\displaystyle z=\frac{14}{5}

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