( 5 val ) Ache o conjunto solução dos sistemas de equações e de inequações.
b) \left\{\begin{array}{c}x^{3}-x^{2}+12 \leq 3(2 x+4) \\\ \left(1-x^{2}\right)+3 x-6>3(x-2)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução do sistema de duas inequações envolvendo polinômios. Primeiro temos
x^{3}-x^{2}+12 \leq 3(2x+4)
e depois
(1 - x^{2}) + 3x - 6 > 3(x-2).
Vamos resolver cada inequação separadamente e depois tomar a interseção dos resultados.

Passo 2

Resolvendo a primeira inequação
x^{3}-x^{2}+12 \leq 6x+12
passamos todos os termos para o lado esquerdo:
x^{3}-x^{2}-6x \leq 0.
Fatoramos o polinômio:
x^{3}-x^{2}-6x = x(x^{2}-x-6) = x(x-3)(x+2).
Para determinar onde
x(x-3)(x+2)\leq 0
usamos a regra de sinais em cada fator. As raízes são -2, 0 e 3, e o produto é não positivo ( <=0) nos intervalos onde há 1 ou 3 fatores negativos. Construindo o quadro de sinais, concluímos que a solução dessa primeira inequação é
\;(-\infty,-2]\;\cup\;[0,3].

Passo 3

Resolvendo a segunda inequação
(1 - x^{2}) + 3x - 6 > 3(x-2)
primeiro expandimos e simplificamos:
1 - x^{2} + 3x - 6 > 3x - 6 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} -5 +1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} +1 > 0.
Isto equivale a
-(x^{2}-1)>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1<0 \quad\Longrightarrow\quad -1<x<1.
Logo, o conjunto solução da segunda inequação é
(-1,1).

Passo 4

O sistema exige que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente. Fazemos a interseção
\bigl((-\infty,-2]\cup[0,3]\bigr)\;\cap\;(-1,1) \;=\;[0,1).

Resposta

\displaystyle [0,1)

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