Questão 4

[1,25 pontos]
Temos duas pilhas, A e B, formadas com folhas de papel. Removemos 50 folhas da pilha A para a pilha B , e o número de folhas em B passou a ser o dobro do número das folhas em A . Se, em vez disso, removêssemos certa quantidade de folhas da pilha B para a pilha A , então o número de folhas em A passaria a ser seis vezes o número de folhas em B. Determine a menor possibilidade de folhas em A e calcule o número correspondente de folhas da pilha B .

Passo 1

O enunciado fala de duas pilhas de folhas, digamos A com x folhas e B com y folhas. Há duas situações que geram equações:
  1. Transferir 50 de A para B, de modo que a nova quantidade em B passe a ser o dobro da nova quantidade em A.
  2. Transferir t de B para A, de modo que a nova quantidade em A passe a ser seis vezes a nova quantidade em B.
    Vamos montar o sistema, resolver em inteiros (x,y,t) e escolher a menor solução positiva para x.

Passo 2

Na primeira situação, remove-se 50 de A e adiciona-se a B. A condição é
y + 50 \;=\; 2\,(x - 50).
Rearranjando, obtemos
y = 2x - 150.

Passo 3

Na segunda situação, remove-se t de B e adiciona-se a A. A condição é
x + t \;=\; 6\,(y - t).
Expandindo e rearranjando, resulta
x + t = 6y - 6t \quad\Longrightarrow\quad x + 7t = 6y.

Passo 4

Substituindo y=2x-150 em x + 7t = 6y, temos
x + 7t = 6(2x - 150) \quad\Longrightarrow\quad x + 7t = 12x - 900 \quad\Longrightarrow\quad 11x = 900 + 7t.
Queremos inteiros positivos. Logo, 900 + 7t deve ser múltiplo de 11, isto é
900 + 7t \equiv 0 \pmod{11} \quad\Longrightarrow\quad 7t \equiv -900 \equiv 2 \pmod{11}.
Como o inverso de 7 módulo 11 é 8, segue
t \equiv 2\cdot 8 \equiv 16 \equiv 5 \pmod{11} \quad\Longrightarrow\quad t = 11k + 5,\;k\ge0.
Para o menor x basta testar k=0: t=5 e
x = \frac{900 + 7\cdot 5}{11} = \frac{935}{11} = 85.

Passo 5

Com x=85, voltamos à expressão y=2x-150:
y = 2\cdot 85 - 150 = 170 - 150 = 20.
Verificações rápidas:
  • Transferir 50 de A a B: A\to35, B\to70, e 70=2\cdot 35.
  • Transferir t=5 de B a A: A\to90, B\to15, e 90=6\cdot 15.

Resposta

Menor possibilidade: A tem 85 folhas e B tem 20 folhas.

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