Questão 4
[1,25 pontos]
Temos duas pilhas, A e B, formadas com folhas de papel. Removemos 50 folhas da pilha A para a pilha B , e o número de folhas em B passou a ser o dobro do número das folhas em A . Se, em vez disso, removêssemos certa quantidade de folhas da pilha B para a pilha A , então o número de folhas em A passaria a ser seis vezes o número de folhas em B. Determine a menor possibilidade de folhas em A e calcule o número correspondente de folhas da pilha B .
Temos duas pilhas, A e B, formadas com folhas de papel. Removemos 50 folhas da pilha A para a pilha B , e o número de folhas em B passou a ser o dobro do número das folhas em A . Se, em vez disso, removêssemos certa quantidade de folhas da pilha B para a pilha A , então o número de folhas em A passaria a ser seis vezes o número de folhas em B. Determine a menor possibilidade de folhas em A e calcule o número correspondente de folhas da pilha B .
Passo 1
O enunciado fala de duas pilhas de folhas, digamos
com
folhas e
com
folhas. Há duas situações que geram equações:
- Transferir 50 de
para , de modo que a nova quantidade em passe a ser o dobro da nova quantidade em . - Transferir
de para , de modo que a nova quantidade em passe a ser seis vezes a nova quantidade em .
Vamos montar o sistema, resolver em inteirose escolher a menor solução positiva para .
Passo 2
Na primeira situação, remove-se 50 de
e adiciona-se a
. A condição é
Rearranjando, obtemos
Passo 3
Na segunda situação, remove-se
de
e adiciona-se a
. A condição é
Expandindo e rearranjando, resulta
Passo 4
Substituindo
em
, temos
Queremos inteiros positivos. Logo,
deve ser múltiplo de 11, isto é
Como o inverso de 7 módulo 11 é 8, segue
Para o menor
basta testar
:
e
Passo 5
Com
, voltamos à expressão
:
Verificações rápidas:
- Transferir 50 de
a : , , e . - Transferir
de a : , , e .
Resposta
Menor possibilidade:
tem
folhas e
tem
folhas.