A=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right)
Calcule as entradas c_{11}, c_{12}, c_{21}, c_{22} da matriz
A^{4927}=\left(\begin{array}{ll} c_{11} & c_{12} \\\ c_{21} & c_{22} \end{array}\right)
Dê a resposta com pelo menos 3 casas decimais e utilize ponto para separar a casa decimal, não utilize vírgula pois o moodle não é inteligente o suficiente para entender esta notação (sorry moodle, just being honest…)
Observação: aqui não há nota parcial; todas as entradas precisam estar corretas para ganhar o ponto nesta questão, então cuidado com erros de digitação!
c_{11}=\square, c_{12}=\square, c_{21}=\square, c_{22}=\square .

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
e pede para calcular as entradas c_{11},c_{12},c_{21},c_{22} da matriz
A^{4927}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \\\ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}.
As respostas devem ser dadas com pelo menos três casas decimais e usando ponto como separador decimal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a matriz A (isto é só reconhecimento, não resolve ainda): observe que os elementos de A coincidem com \cos e \sin de 30^\circ. De fato,
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
A matriz de rotação no plano por um ângulo \theta tem a forma
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Comparando com A, vemos que A=R(30^\circ). (Se você ainda não sabia, agora já ficou: essa forma é a padrão para rotações em 2D.)]

Passo 3

Propriedade importante (muito útil na prova): potências de uma matriz de rotação são rotações pelo ângulo multiplicado. Ou seja, para todo inteiro n,
R(\theta)^n = R(n\theta).
Isso ocorre porque rotações se compõem somando ângulos. Logo
A^{4927}=R(30^\circ)^{4927}=R(4927\cdot 30^\circ).
Explicar um pouco: multiplicar duas matrizes de rotação R(\alpha)R(\beta) equivale a R(\alpha+\beta); daí a potência R(\theta)^n soma \theta n vezes.

Passo 4

Como rotações são periódicas de 360^\circ, podemos reduzir o ângulo modulo 360^\circ. Note que 30^\circ divide 360^\circ exatamente 12 vezes, então basta calcular 4927 módulo 12. Fazemos a divisão inteira:
4927 = 12\cdot 410 + 7,
portanto o resto é 7. Isso significa
4927\cdot 30^\circ \equiv 7\cdot 30^\circ \pmod{360^\circ},
ou seja
A^{4927}=R(7\cdot 30^\circ)=R(210^\circ).

Passo 5

Agora precisamos das funções trigonométricas em 210^\circ. Use identidades de adição:
210^\circ = 180^\circ + 30^\circ.
As fórmulas usuais são
\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha.
Aplicando com \alpha=30^\circ,
\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}.

Passo 6

A matriz de rotação por 210^\circ é
R(210^\circ)=\begin{pmatrix}\cos 210^\circ & -\sin 210^\circ\\[4pt]\sin 210^\circ & \cos 210^\circ\end{pmatrix}.
Substituindo os valores que achamos,
A^{4927}=R(210^\circ)=\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora vamos dar os valores numéricos com casas decimais. Primeiro calcule \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Sabemos que \sqrt{3}\approx 1.7320508075688772, então
\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254037844386.
Usando ponto decimal (conforme pedido) e arredondando a 6 casas decimais para segurança (mais do que as 3 pedidas),
\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866025.
Logo -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.866025. E
\frac{1}{2}=0.5,
escrevendo com 6 casas decimais fica 0.500000, e -\dfrac{1}{2}=-0.500000.

Passo 8

Portanto as entradas são
c_{11}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.866025,\qquad c_{12}=\frac{1}{2}\approx 0.500000,
c_{21}=-\frac{1}{2}\approx -0.500000,\qquad c_{22}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.866025.

Resposta

c_{11}=-0.866025
c_{12}=0.500000
c_{21}=-0.500000
c_{22}=-0.866025

Exercícios relacionados