É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) propor uma solução particular por coeficientes indeterminados e (iii) ajustar as constantes pelos dados iniciais.
Para a parte não homogênea x e^x + 4 usamos coeficientes indeterminados. Como e^x é raiz dupla da homogênea e temos x e^x, multiplicamos um polinômio genérico de grau 1 por x^2e^x. Para o termo constante proponho constante simples. Assim
y_p = \bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr)e^x + D.
Passo 4
Defina P(x)=Ax^3+Bx^2.
Para y_p = P(x)e^x + D verifica-se (é um fato padrão para este operador)
y''_p - 2y'_p + y_p = P''(x)\,e^x + D.
Queremos
P''(x)\,e^x + D = x e^x + 4.
Como
P''(x)=6Ax + 2B,
igualamos coeficientes em e^x e constantes:
6A x + 2B = x\quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac16,\;B=0,