\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é o valor inicial
y''-2y'+y = x e^x + 4,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1.
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) achar a solução geral da homogênea, (ii) propor uma solução particular por coeficientes indeterminados e (iii) ajustar as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
r^2 - 2r + 1 = 0
é
(r-1)^2=0\;\Longrightarrow\;r=1\text{ (raiz dupla)}.
Logo a solução homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x.

Passo 3

Para a parte não homogênea x e^x + 4 usamos coeficientes indeterminados. Como e^x é raiz dupla da homogênea e temos x e^x, multiplicamos um polinômio genérico de grau 1 por x^2e^x. Para o termo constante proponho constante simples. Assim
y_p = \bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr)e^x + D.

Passo 4

Defina P(x)=Ax^3+Bx^2.
Para y_p = P(x)e^x + D verifica-se (é um fato padrão para este operador)
y''_p - 2y'_p + y_p = P''(x)\,e^x + D.
Queremos
P''(x)\,e^x + D = x e^x + 4.
Como
P''(x)=6Ax + 2B,
igualamos coeficientes em e^x e constantes:
6A x + 2B = x\quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac16,\;B=0,
D = 4.
Logo
y_p = \frac{x^3}{6}\,e^x + 4.

Passo 5

A solução geral é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \frac{x^3}{6}e^x + 4.

Passo 6

Impondo y(0)=1:
y(0)=C_1 + 0 + 0 + 4 = 1\;\Longrightarrow\;C_1 = -3.
Agora calculamos
y' = C_1 e^x + C_2(1+x)e^x + \bigl(\tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^2}{2}\bigr)e^x,
então
y'(0)=C_1 + C_2 + 0 = 1\;\Longrightarrow\;-3 + C_2 = 1\;\Longrightarrow\;C_2 = 4.

Resposta

\boxed{y(x) = e^x\Bigl(-3 + 4x + \tfrac{x^3}{6}\Bigr) + 4.}

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