Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes:
\begin{aligned}& u_{x}=2 x y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \\& u\left(x, x^{2}\right)=1, x \in \mathbb{R} .\end{aligned}

Passo 1

Temos a equação de primeira ordem
u_{x}(x,y)=2xy,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^{2}
com condição ao longo da curva y=x^{2}:
u\bigl(x,x^{2}\bigr)=1,\quad x\in\mathbb{R}.
O conteúdo é resolução de uma PDE simples por integração em x e aplicação de condição de contorno.

Passo 2

Integramos em x, tratando y como constante. Como
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=2xy,
integramos em x:
u(x,y)=\int 2xy\,dx = x^{2}y + g(y),
onde g é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Impondo a condição u\bigl(x,x^{2}\bigr)=1, substituímos y=x^{2} em
u(x,y)=x^{2}y + g(y):
u\bigl(x,x^{2}\bigr)=x^{2}\cdot x^{2} + g\bigl(x^{2}\bigr) =x^{4} + g\bigl(x^{2}\bigr) \stackrel{!}{=}1.

Passo 4

Da igualdade x^{4} + g(x^{2})=1 para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que, para todo t\ge0 (pois t=x^{2}), vale
g(t)=1 - t^{2},\quad t\ge0.
Para t<0 (isto é, y<0) a condição não impõe restrição, logo g(t) é arbitrária em t<0.

Passo 5

Logo, existem soluções e elas não são únicas. A família geral das soluções é
u(x,y)=x^{2}y + g(y),
onde g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz
g(y)=1 - y^{2}\quad\text{para }y\ge0,
e é arbitrária para y<0.

Resposta

Todas as soluções são
u(x,y)=x^{2}y + g(y),
com g(y)=1-y^{2} para y\ge0 e g(y) arbitrária para y<0.

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