Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes:
Passo 1
Temos a equação de primeira ordem
com condição ao longo da curva
:
O conteúdo é resolução de uma PDE simples por integração em
e aplicação de condição de contorno.
Passo 2
Integramos em
, tratando
como constante. Como
integramos em
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Impondo a condição
, substituímos
em
Passo 4
Da igualdade
para todo
, concluímos que, para todo
(pois
), vale
Para
(isto é,
) a condição não impõe restrição, logo
é arbitrária em
.
Passo 5
Logo, existem soluções e elas não são únicas. A família geral das soluções é
onde
satisfaz
e é arbitrária para
.
Resposta
Todas as soluções são
com
para
e
arbitrária para
.