Dê a solução do seguinte PVI:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y=m(t) \\\ y(0)=0=\frac{d y}{d t}(0) \end{array} \quad \text { onde } \quad m(t)=\left\{\begin{array}{lll} t & 0 \leq & t<1 \\\ t+1 & 1 \leq & t<2 \\\ t+2 & & t \geq 2 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)-y(t)=m(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
onde
m(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\\ t+1,&1\le t<2,\\\ t+2,&t\ge2. \end{cases}
O conteúdo é resolução de EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais nulas. Vamos usar a função de Green (ou método de convolução), que dá
y(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}\bigl(t-s\bigr)\,m(s)\,ds.

Passo 2

Para 0\le t<1, temos m(s)=s em [0,t], então
y(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds.
Faça u=t-s, s=t-u, ds=-du; as contas levam a
y(t)=\operatorname{sinh}(t)-t.

Passo 3

Para 1\le t<2, separamos a integral em [0,1] e [1,t]:
y(t) =\int_{0}^{1}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds +\int_{1}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,(s+1)\,ds.
Cálculos diretos mostram
\int_{0}^{1}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds =\operatorname{sinh}(t)-e^{\,t-1},
\int_{1}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,(s+1)\,ds =2\operatorname{cosh}(t-1)+\operatorname{sinh}(t-1)-t-1.
Somando e simplificando em função de e^{t} e e^{-t} obtém-se
y(t) =\frac{e+1}{2e}\,e^{t} +\frac{e-1}{2}\,e^{-t} -t-1.

Passo 4

Para t\ge2, dividimos em três integrais em [0,1], [1,2] e [2,t]. Após cálculo de cada parte, chega-se a
y(t) =\operatorname{sinh}(t)+\operatorname{sinh}(t-1) +2\operatorname{cosh}(t-1)+\operatorname{cosh}(t-2) -e^{\,t-1}-t-2,
que, reescrito em termos de exponenciais, fica
y(t) =\frac{e^{2}+e+1}{2e^{2}}\,e^{t} +\frac{e^{2}+e-1}{2}\,e^{-t} -t-2.

Resposta

Portanto, a solução do PVI é
y(t)= \begin{cases} \operatorname{sinh}(t)-t, &0\le t<1,\\[6pt] \dfrac{e+1}{2e}\,e^{t} +\dfrac{e-1}{2}\,e^{-t} -t-1, &1\le t<2,\\[8pt] \dfrac{e^{2}+e+1}{2e^{2}}\,e^{t} +\dfrac{e^{2}+e-1}{2}\,e^{-t} -t-2, &t\ge2. \end{cases}]

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