Dê a solução do seguinte PVI: P V I=\left\{\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y=m(t) \\\ y(0)=0=\frac{d y}{d t}(0) \end{array} \quad \text { onde } \quad m(t)=\left\{\begin{array}{lll} t & 0 \leq & t<1 \\\ t+1 & 1 \leq & t<2 \\\ t+2 & & t \geq 2 \end{array}\right.\right. Passo 1O enunciado pede a solução do problema de valor inicial \begin{cases} y''(t)-y(t)=m(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases} onde m(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\\ t+1,&1\le t<2,\\\ t+2,&t\ge2. \end{cases} O conteúdo é resolução de EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais nulas. Vamos usar a função de Green (ou método de convolução), que dá y(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}\bigl(t-s\bigr)\,m(s)\,ds. Passo 2Para 0\le t<1, temos m(s)=s em [0,t], então y(t)=\int_{0}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds. Faça u=t-s, s=t-u, ds=-du; as contas levam a y(t)=\operatorname{sinh}(t)-t. Passo 3Para 1\le t<2, separamos a integral em [0,1] e [1,t]: y(t) =\int_{0}^{1}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds +\int_{1}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,(s+1)\,ds. Cálculos diretos mostram \int_{0}^{1}\operatorname{sinh}(t-s)\,s\,ds =\operatorname{sinh}(t)-e^{\,t-1}, \int_{1}^{t}\operatorname{sinh}(t-s)\,(s+1)\,ds =2\operatorname{cosh}(t-1)+\operatorname{sinh}(t-1)-t-1. Somando e simplificando em função de e^{t} e e^{-t} obtém-se y(t) =\frac{e+1}{2e}\,e^{t} +\frac{e-1}{2}\,e^{-t} -t-1. Passo 4Para t\ge2, dividimos em três integrais em [0,1], [1,2] e [2,t]. Após cálculo de cada parte, chega-se a y(t) =\operatorname{sinh}(t)+\operatorname{sinh}(t-1) +2\operatorname{cosh}(t-1)+\operatorname{cosh}(t-2) -e^{\,t-1}-t-2, que, reescrito em termos de exponenciais, fica y(t) =\frac{e^{2}+e+1}{2e^{2}}\,e^{t} +\frac{e^{2}+e-1}{2}\,e^{-t} -t-2. RespostaPortanto, a solução do PVI é y(t)= \begin{cases} \operatorname{sinh}(t)-t, &0\le t<1,\\[6pt] \dfrac{e+1}{2e}\,e^{t} +\dfrac{e-1}{2}\,e^{-t} -t-1, &1\le t<2,\\[8pt] \dfrac{e^{2}+e+1}{2e^{2}}\,e^{t} +\dfrac{e^{2}+e-1}{2}\,e^{-t} -t-2, &t\ge2. \end{cases}] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right. Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes: \begin{aligned}& u_{x}=2 x y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \\& u\left(x, x^{2}\right)=x, x \in \mathbb{R} .\end{aligned} Dê a solução geral da seguinte EDO: \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=x^{2}+2 x+1+\cos (x) Dê a solução do seguinte PVI: P V I=\left\{\begin{array}{l} x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} \\\ y(1)=0 ; \frac{d y}{d x}(1)=1 \end{array}\right.