Verifique se os problemas abaixo têm solução e, nesse caso, ache todas as soluçōes:
\begin{aligned}& u_{x}=2 x y,(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \\& u\left(x, x^{2}\right)=x, x \in \mathbb{R} .\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\displaystyle u_{x}(x,y)=2xy em \R^2, com a condição de contorno
\displaystyle u\bigl(x,x^2\bigr)=x para todo x\in\R.
O conteúdo que usamos é que, para uma função u(x,y), conhecer u_{x} em toda parte permite integrá-la em x, ficando uma “constante” de integração que depende de y.

Passo 2

Integramos \displaystyle u_{x}(x,y)=2xy em relação a x, tratando y como parâmetro:
u(x,y)=\int 2xy\,dx = x^2\,y + C(y),
onde C é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Impondo a condição \displaystyle u(x,x^2)=x, substituímos y=x^2 em u(x,y):
u(x,x^2)=x^2\cdot x^2 + C\bigl(x^2\bigr) =x^4 + C\bigl(x^2\bigr) \overset{!}{=}x.
Logo
C\bigl(x^2\bigr)=x - x^4.

Passo 4

Seja t=x^2. Para cada t>0 existem dois valores de x, +\sqrt t e -\sqrt t. A igualdade
C(t)=\sqrt t - (\sqrt t)^4 \quad\text{e}\quad C(t)=-\sqrt t - \bigl(-\sqrt t\bigr)^4
deveria valer simultaneamente para t>0. Mas isso dá
\sqrt t - t^2 = -\sqrt t - t^2 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt t=0,
impossível para t>0. Em t=0 apenas se obtém C(0)=0, mas isso não estende a coerência para t>0.

Passo 5

O conflito de valores de C(t) mostra que não há função única C de y que satisfaça a condição para todos os x. Portanto não existe solução u definida em todo \R^2 que cumpra simultaneamente u_x=2xy e u(x,x^2)=x.

Resposta

Não existe solução global em \R^2 para o problema dado.

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