Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique sua resposta provando a afirmação quando for verdadeira, ou exibindo um contra-exemplo quando for falsa.
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A) .
Passo 1
O enunciado dá a afirmação
\det(AB)=\det(BA),
para duas matrizes A e B, sem especificar seus tamanhos. A tarefa é decidir se essa igualdade é verdadeira ou falsa e justificar: provar quando for verdadeira ou dar contra-exemplo quando for falsa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Está escrito apenas \det(AB)=\det(BA) sem dizer se A e B são quadradas.
Para que \det(AB) (ou \det(BA)) esteja definido, a matriz AB (ou BA) deve ser quadrada; portanto há casos possíveis diferentes dependendo das dimensões de A e B.
Passo 2
Vou mostrar primeiro um contra-exemplo simples que prova que a afirmação, tal como enunciada para matrizes quaisquer, é falsa.
que é uma matriz 3\times3 com uma linha (ou coluna) nula, portanto
\det(BA)=0.
Comparando os números obtidos temos \det(AB)=1 e \det(BA)=0, ou seja, os dois determinantes são diferentes para esse par A,B.]
Passo 4
Interpretação e conclusão parcial: o contra-exemplo mostra que, para matrizes de dimensões diferentes (aqui A é 2\times3 e B é 3\times2), a igualdade \det(AB)=\det(BA) não vale em geral. Portanto a afirmação, sem hipóteses adicionais sobre A e B, é falsa.
É útil observar por que isso acontece: quando A e B têm tamanhos diferentes de maneira que AB e BA sejam quadradas de ordens distintas, os determinantes existem como escalares distintos e não há razão geral para que coincidam; além disso, fatos de posto garantem que uma das matrizes pode ser singular mesmo que a outra seja invertível (como no exemplo).
Passo 5
Agora mostro o caso em que a igualdade é verdadeira: suponha que A e B sejam matrizes quadradas de mesma ordem n\times n. Neste caso existe uma propriedade fundamental do determinante: para quaisquer matrizes quadradas n\times n,
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Explicação didática dessa propriedade: o determinante de uma matriz representa o fator de escala (orientado) de volumes quando a matriz é vista como transformação linear no espaço \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n). Aplicar primeiro B escala volumes por \det(B) e depois aplicar A escala o resultado por \det(A); a composição escala por \det(A)\det(B). Portanto o determinante da composição (matriz produto AB) é o produto dos determinantes. (Há também provas algébricas formais usando as propriedades multilineares e alternadas da função determinante ou usando decomposições em matrizes elementares.)
Aplicando essa propriedade:
\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\det(BA),
onde na última igualdade usamos apenas a comutatividade da multiplicação de escalares. Assim, para matrizes quadradas da mesma ordem, \det(AB)=\det(BA) sempre vale.
Passo 6
Resumo final do raciocínio:
Como enunciado sem restrições, a afirmação é falsa (contra-exemplo explícito com A2\times3 e B3\times2 mostrou \det(AB)\neq\det(BA)).
Se for acrescentada a hipótese natural de que A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, a afirmação é verdadeira, por multiplicatividade do determinante: \det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA).
Resposta
Falsa.
Verdadeira se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem.