\left.\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}}\right) (2,50 pontos) Um enrolamento circular com raio 5,0 \mathrm{~cm} possui 12 voltas, encontra-se em repouso no plano XY e está centrado na origem. Ele transporta uma corrente de 4,0 \mathrm{~A}, de tal modo que momento magnético do enrolamento possui a mesma direção e sentido do semieixo Z positivo. Determine:
a) o campo magnético em \mathrm{Z}=15,0 \mathrm{~cm};
b) o momento magnético do enrolamento.

Passo 1

O enunciado descreve um enrolamento circular de N=12 voltas e raio R=5{,}0\text{ cm}=0{,}05\text{ m}, com corrente I=4{,}0\text{ A}, no plano XY centrado na origem. O momento magnético resultante está orientado segundo o eixo Z positivo. Precisamos (a) calcular o campo magnético no ponto sobre o eixo Z a uma distância z=15{,}0\text{ cm}=0{,}15\text{ m} da origem e (b) determinar o momento magnético do enrolamento.

Passo 2

Para um conjunto de N espiras circulares coincidentes, o campo magnético no eixo a distância z da espira é dado por
B(z)=\frac{\mu_{0}\,N\,I\,R^{2}}{2\,\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}. Vamos usar essa fórmula com R=0{,}05\text{ m}, z=0{,}15\text{ m}, N=12 e I=4{,}0\text{ A}.

Passo 3

Calculando os termos:
R^{2}=0{,}05^{2}=0{,}0025,\quad z^{2}=0{,}15^{2}=0{,}0225,\quad R^{2}+z^{2}=0{,}0250,
\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}=(0{,}0250)^{3/2}=0{,}0250\sqrt{0{,}0250}\approx0{,}0039528.
O numerador é
\mu_{0}\,N\,I\,R^{2} =(4\pi\times10^{-7})\times12\times4{,}0\times0{,}0025 \approx1{,}508\times10^{-7}.
Portanto
B(0{,}15) =\frac{1{,}508\times10^{-7}}{2\times0{,}0039528} \approx1{,}91\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

O momento magnético \boldsymbol{\mu} de N espiras é
\boldsymbol{\mu}=N\,I\,A\,\hat{\mathbf{z}},
onde A=\pi R^{2} é a área de cada espira e \hat{\mathbf{z}} indica direção do eixo Z positivo.

Passo 5

Calculando a área:
A=\pi R^{2}=\pi\times0{,}0025\approx7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Assim
\mu=N\,I\,A=12\times4{,}0\times7{,}854\times10^{-3} \approx0{,}377\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

Resposta

a) B(0{,}15\text{ m})\approx1{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
b) \mu\approx0{,}38\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} na direção de +\hat{\mathbf{z}}.

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