\left(\mathbf{1 , 0}\right. ponto) A função f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{x} \text {, se } x<0 \\\ x^{2} \text {, se } x \geq 0\end{array}\right. é contínua ou descontínua? Justifique e em caso de descontinuidade, diga se é removível ou essencial e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} e^{x}, & x<0,\\\ x^{2}, & x\ge0, \end{cases}
e pede para decidir se ela é contínua ou não em todo ponto de \mathbb{R}. Vamos usar definição de continuidade e calcular limites laterais, em especial em x=0, pois em x<0 e x>0 as duas fórmulas são contínuas por serem exponencial e polinomial.

Passo 2

Para x<0, f(x)=e^{x} é contínua (função exponencial é contínua em todo \mathbb{R}). Para x>0, f(x)=x^{2} é contínua (polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}). Logo, não há problemas de continuidade fora de x=0.

Passo 3

Em x=0 precisamos analisar
\lim_{x\to0^-}f(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x) \quad\text{e comparar com }f(0).
Como x<0 usa-se e^{x}, temos
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}e^{x} =e^{0} =1.
Como x>0 usa-se x^{2}, temos
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}x^{2} =0.
E pelo enunciado f(0)=0^{2}=0.

Passo 4

Vimos que
\lim_{x\to0^-}f(x)=1 \quad\neq\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=0,
então f é descontínua em x=0. Como os limites laterais não coincidem, não existe nenhum valor que se possa atribuir a f(0) para “unir” as duas partes: trata-se de uma descontinuidade essencial (jump).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto, exceto em x=0, onde tem descontinuidade essencial (salto). Não há como redefinir f(0) para torná-la contínua.

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