\left(\mathbf{1 , 0}\right. ponto) Utilize a definição de limite para provar que \lim _{x \rightarrow-1}(3-4 x)=7.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to -1}\bigl(3 - 4x\bigr) = 7.
Aqui temos a função f(x)=3-4x e o ponto de limite x_0=-1. Nosso objetivo é mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<\lvert x - (-1)\rvert<\delta, então \lvert f(x)-7\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Vamos estimar a diferença \lvert f(x)-7\rvert:
\lvert f(x)-7\rvert =\bigl\lvert 3-4x-7\bigr\rvert =\bigl\lvert -4x-4\bigr\rvert =4\,\lvert x+1\rvert.
Portanto, controlar \lvert f(x)-7\rvert equivale a controlar 4\,\lvert x+1\rvert.

Passo 3

Dado um \varepsilon>0, escolha
\delta = \frac{\varepsilon}{4}.
Então, sempre que
0<\lvert x+1\rvert<\delta,
temos
\lvert f(x)-7\rvert =4\,\lvert x+1\rvert <4\cdot\frac{\varepsilon}{4} =\varepsilon.
Isso mostra exatamente, pela definição de limite, que
\lim_{x\to -1}\bigl(3-4x\bigr)=7.

Resposta

Prova concluída, com a escolha \delta=\varepsilon/4.

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