Sobre a teoria de funções vetoriais
Calcule \int_{0}^{1} \vec{g}(t) d t onde \vec{g}(t)=t e^{t} \vec{i}+2 t e^{t^{2}} \vec{j};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor \vec{g}(t)=t e^{t}\,\vec{i}+2t\,e^{t^{2}}\,\vec{j}
no intervalo de t=0 a t=1. Como se trata de função vetorial, vamos integrar componente a componente.

Passo 2

Calcular o primeiro componente
\int_{0}^{1}t e^{t}\,dt.
Usamos integração por partes: seja u=t e dv=e^{t}dt, então du=dt e v=e^{t}. Logo
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t-1).
Avaliando de 0 a 1:
\Bigl[e^{t}(t-1)\Bigr]_{0}^{1} = e^{1}(1-1) - e^{0}(0-1) = 0 - (-1) = 1.

Passo 3

Calcular o segundo componente
\int_{0}^{1}2t\,e^{t^{2}}\,dt.
Fazemos a substituição w=t^{2}, de modo que dw=2t\,dt. Assim
\int 2t\,e^{t^{2}}\,dt = \int e^{w}\,dw = e^{w} = e^{t^{2}}.
Avaliando de 0 a 1:
\Bigl[e^{t^{2}}\Bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e - 1.

Passo 4

Juntando os resultados das duas componentes, obtemos
\int_{0}^{1}\vec{g}(t)\,dt = \Bigl(1\Bigr)\vec{i} + \bigl(e-1\bigr)\vec{j}.

Resposta

\displaystyle \vec{i} + (e-1)\,\vec{j}

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