( \mathbf{0 , 5} pontos cada item) Calcule os seguintes limites, sem utilizar a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}
sem usar a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é limite de expressão na forma exponencial, onde a base tende a 1 e o expoente tende a infinito. Para resolver vamos usar logaritmos e a equivalência
\ln(1+u)\sim u\quad\text{quando }u\to0.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}.
Como a expressão dentro do limite é sempre positiva, podemos escrever
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr).
Reescrevendo a base como 1+1/(x+1), temos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr).

Passo 3

Observe que quando x\to+\infty então u=\tfrac{1}{x+1}\to0, e pela equivalência \ln(1+u)\sim u vale
\ln\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)\sim \frac{1}{x+1}.
Logo
x \,\ln\Bigl(1+\frac{1}{x+1}\Bigr)\sim x\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}.

Passo 4

Como
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1} = 1,
segue que
\ln L = 1.
Portanto
L = e^{\ln L} = e^1 = e.

Resposta

e

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