Em que pontos sobre a curva, cuja representação paramétrica é: \left\{\begin{array}{c}x=t^{3}+4 t \\\ y=6 t^{2}, t \in \mathbb{R}^{\prime}\end{array}\right., a reta tangente à curva é paralela à reta: \left\{\begin{array}{c}x=-7 t \\\ y=12 t-5, t \in \mathbb{R}\end{array} ?\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\begin{cases} x(t)=t^{3}+4t,\\\ y(t)=6t^{2}, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R},
e pergunta em que pontos a reta tangente a essa curva é paralela à reta
\begin{cases} x=-7s,\\\ y=12s-5, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivadas de curvas paramétricas para obter a inclinação da reta tangente, e comparação com a inclinação da reta dada.

Passo 2

Extraímos o vetor direção da reta dada. Como
x=-7s,\quad y=12s-5,
o vetor direção é \bigl(-7,\,12\bigr). A inclinação dessa reta é
m_{\text{reta}} = \frac{12}{-7} = -\frac{12}{7}.

Passo 3

Para a curva paramétrica, calculamos
\frac{dx}{dt} = 3t^{2}+4, \qquad \frac{dy}{dt} = 12t.
A inclinação da reta tangente em função de t é
m_{\text{tang}}(t) = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{12t}{3t^{2}+4}.

Passo 4

Impondo paralelismo, igualamos as inclinações:
\frac{12t}{3t^{2}+4} = -\frac{12}{7}.
Cancelamos 12 (não nulo) em ambos os lados e resolvemos
\frac{t}{3t^{2}+4} = -\frac{1}{7} \quad\Longrightarrow\quad 7t = -(3t^{2}+4) \quad\Longrightarrow\quad 3t^{2}+7t+4=0.
Essa equação quadrática tem raízes
t = \frac{-7\pm\sqrt{49-48}}{6} = \frac{-7\pm1}{6},
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t_{1} = -1, \qquad t_{2} = -\frac{4}{3}.

Passo 5

Agora encontramos os pontos correspondentes na curva.
Para t_{1}=-1:
x(-1)=(-1)^{3}+4(-1)=-1-4=-5, \quad y(-1)=6(-1)^{2}=6,
então o ponto é \bigl(-5,\,6\bigr).
Para t_{2}=-\tfrac{4}{3}:
x\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^{3} +4\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =-\tfrac{64}{27}-\tfrac{16}{3} =-\tfrac{64+144}{27} =-\tfrac{208}{27},
y\!\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =6\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} =6\cdot\tfrac{16}{9} =\tfrac{96}{9} =\tfrac{32}{3},
logo o ponto é \bigl(-\tfrac{208}{27},\,\tfrac{32}{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(-5,\,6\bigr) e \displaystyle \bigl(-\tfrac{208}{27},\,\tfrac{32}{3}\bigr).

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