( \mathbf{4 , 0} ptos) Calcule as integrais abaixo
\oint_{C} \frac{z^{4} \cdot \mathrm{~d} z}{(z+2 i)^{2}\left(z^{2}-1\right)} onde C é um círculo de raio 5 centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede
\oint_{C}\frac{z^{4}\,\mathrm{d}z}{(z+2i)^{2}(z^{2}-1)}
onde C é o círculo \lvert z\rvert=5 percorrido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos:
\oint_{C}f(z)\,\mathrm{d}z \;=\;2\pi i\sum_{\text{polos dentro de }C}\Res(f,z_{0}).

Passo 2

Identificamos os polos de
f(z)=\frac{z^{4}}{(z+2i)^{2}(z^{2}-1)}:
– polos simples em z=1 e z=-1,
– polo de ordem 2 em z=-2i.
Como \lvert1\rvert<5, \lvert-1\rvert<5, \lvert-2i\rvert=2<5, todos estão dentro de C.

Passo 3

Residuo em z=1 (polo simples):
\Res(f,1) =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z^{4}}{(z+2i)^{2}(z-1)(z+1)} =\frac{1^4}{(1+2i)^2\,(1+1)} =\frac{1}{2(1+2i)^2}.
Como (1+2i)^2=-3+4i,
\Res(f,1) =\frac{1}{2(-3+4i)} =-\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i.

Passo 4

Residuo em z=-1 (polo simples):
\Res(f,-1) =\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{z^{4}}{(z+2i)^{2}(z-1)(z+1)} =\frac{(-1)^4}{(-1+2i)^2\,(-1-1)} =\frac{1}{(-2)(-3-4i)} =\frac{1}{6+8i} =\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i.

Passo 5

Residuo em z=-2i (polo duplo): definimos
g(z)=(z+2i)^2\,f(z)=\frac{z^4}{z^2-1}
e usamos
\Res(f,-2i) =\frac{d}{dz}g(z)\Big|_{z=-2i}.
Calculando
g'(z) =\frac{d}{dz}\Bigl(\frac{z^4}{z^2-1}\Bigr) =\frac{2\,z^3\,(z^2-2)}{(z^2-1)^2}.
Em z=-2i temos z^2=-4, z^2-2=-6, z^2-1=-5, então
g'(-2i) =\frac{2\,(-2i)^3\,(-6)}{(-5)^2} =-\frac{96\,i}{25}.

Passo 6

Somando os resíduos:
\Res(f,1)+\Res(f,-1)+\Res(f,-2i) =\Bigl(-\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i\Bigr) +\Bigl(\frac{3}{50}-\frac{2}{25}i\Bigr) -\frac{96}{25}i =-4\,i.
Pela fórmula do Teorema dos Resíduos,
\oint_{C}f(z)\,\mathrm{d}z =2\pi i\,(-4\,i) =8\pi.

Resposta

8\pi

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