\left(-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2}, \quad y(1)=-3

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(-t^{2})\,y' + 2t\,y = 3t^{2},
com condição inicial y(1)=-3. Trata-se de uma EDO linear na forma
y' + p(t)\,y = q(t),
e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividimos tudo por -t^{2} (supondo t\neq0) para colocar em forma padrão:
y' - \frac{2}{t}\,y = -3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(-2\ln|t|) = t^{-2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t), obtém-se
t^{-2}y' - 2t^{-3}y = -3t^{-2},
e o lado esquerdo é exatamente (t^{-2}y)'.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
(t^{-2}y)' = -3t^{-2} \quad\Longrightarrow\quad t^{-2}y = \int -3t^{-2}\,dt = 3t^{-1} + C.
Então
y = 3t + C\,t^{2}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=-3:
-3 = 3\cdot1 + C\cdot1^{2} \quad\Longrightarrow\quad C = -6.
Logo a solução é
y(t) = 3t - 6t^{2}.

Resposta

y(t) = 3t - 6t^{2}.

Exercícios relacionados