: Simplifique a expressão \frac{x^{2}-3 x}{2 x^{2}-2 x} \div \frac{x^{2}-9}{5 x+15} :
a) 3 x+2
b) \frac{2}{5}
c) 2 x+5
d) \frac{2 x}{x+4}
e) \frac{5}{2(x-1)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão de divisão de duas frações algébricas:
\frac{x^{2}-3x}{2x^{2}-2x}\;\div\;\frac{x^{2}-9}{5x+15}.
O conteúdo envolvido é álgebra de frações: transformar divisão em multiplicação pelo inverso, fatorar polinômios e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Reescrevemos a divisão como multiplicação pelo inverso da segunda fração:
\frac{x^{2}-3x}{2x^{2}-2x}\;\times\;\frac{5x+15}{x^{2}-9}.

Passo 3

Agora fatoramos cada polinômio:
x^{2}-3x = x(x-3),
2x^{2}-2x = 2x(x-1),
5x+15 = 5(x+3),
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).
Substituindo na expressão:
\frac{x(x-3)}{2x(x-1)}\;\times\;\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 4

Cancelamos todos os fatores comuns em numerador e denominador:
  • O fator (x-3),
  • O fator (x+3),
  • O fator x.
Fica
\frac{5}{2(x-1)}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2(x-1)} (alternativa e)

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