Sejam as integrais:
onde R é a região retangular dada por
Digite o valor encontrado para cada integral acima.
USE VÍRGULAS REPRESENTAR OS NÚMEROS DECIMAIS E APROXIMAÇÃO COM 1 CASA DECIMAL.
D= □
Digite o valor encontrado para cada integral acima.
USE VÍRGULAS REPRESENTAR OS NÚMEROS DECIMAIS E APROXIMAÇÃO COM 1 CASA DECIMAL.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o retângulo
.
Informações dadas:
- A região
tem variando de a e variando de a . - A função a integrar é o produto de uma função só de
, , e uma só de , .
O que é pedido:
- Calcular o valor numérico da integral dupla
.
Passo 2
Vamos entender uma ideia importantíssima para este tipo de integral: quando a região é um retângulo e a função é separável (ou seja, pode ser escrita como produto de uma função só de
por uma função só de
), a integral dupla se separa no produto de integrais simples.
Teorema (caso retangular e função separável): se
e
, então
Isto é consequência do Teorema de Fubini e da propriedade distributiva da integral.
No nosso caso
e
, com
,
,
,
. Portanto
Passo 3
Calcular
.
Regra / ideia usada: uma primitiva de
é
, porque
.
Assim,
Usando os valores trigonométricos
e
, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Regra / ideia usada: uma primitiva de
é
, porque
.
Assim,
Usando
e
, obtemos
Passo 5
Multiplicando os resultados das integrais simples conforme a separação do passo 2:
Interpretação rápida e intuitiva: ao integrar
de
a
a área positiva de
a
cancela com a área negativa de
a
, resultando em zero; como o fator em
é finito (
), o produto final é zero.