Sejam as integrais:
\mathrm{D}=\iint_{R} \operatorname{sen}(x) \cos (y) d A onde R é a região retangular dada por [0, \pi / 2] \mathrm{x}[0, \pi]
Digite o valor encontrado para cada integral acima.
USE VÍRGULAS REPRESENTAR OS NÚMEROS DECIMAIS E APROXIMAÇÃO COM 1 CASA DECIMAL.
D= □

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\mathrm{D}=\iint_{R} \operatorname{sen}(x)\cos(y)\,dA
onde R é o retângulo [0,\pi/2]\times[0,\pi].
Informações dadas:
  • A região R tem x variando de 0 a \pi/2 e y variando de 0 a \pi.
  • A função a integrar é o produto de uma função só de x, \operatorname{sen}(x), e uma só de y, \cos(y).
O que é pedido:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla \mathrm{D}.

Passo 2

Vamos entender uma ideia importantíssima para este tipo de integral: quando a região é um retângulo e a função é separável (ou seja, pode ser escrita como produto de uma função só de x por uma função só de y), a integral dupla se separa no produto de integrais simples.
Teorema (caso retangular e função separável): se R=[a,b]\times[c,d] e f(x,y)=g(x)h(y), então
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\left(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\right)\left(\int_{c}^{d} h(y)\,dy\right).
Isto é consequência do Teorema de Fubini e da propriedade distributiva da integral.
No nosso caso g(x)=\operatorname{sen}(x) e h(y)=\cos(y), com a=0, b=\pi/2, c=0, d=\pi. Portanto
\mathrm{D}=\left(\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy\right).

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Regra / ideia usada: uma primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), porque \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen} x.
Assim,
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\,dx=\big[-\cos(x)\big]_{0}^{\pi/2}=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos(0).
Usando os valores trigonométricos \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \cos(0)=1, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\,dx= -0 + 1 = 1.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy.
Regra / ideia usada: uma primitiva de \cos(y) é \sin(y), porque \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
Assim,
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy=\big[\sin(y)\big]_{0}^{\pi}=\sin(\pi)-\sin(0).
Usando \sin(\pi)=0 e \sin(0)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy=0-0=0.

Passo 5

Multiplicando os resultados das integrais simples conforme a separação do passo 2:
\mathrm{D}=\left(\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy\right)=1\cdot 0 = 0.
Interpretação rápida e intuitiva: ao integrar \cos(y) de 0 a \pi a área positiva de 0 a \pi/2 cancela com a área negativa de \pi/2 a \pi, resultando em zero; como o fator em x é finito ( 1), o produto final é zero.

Resposta

D=0,0

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