Se A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right], determine a matriz X de ordem 2 , tal que
e pede para determinar a matriz X de ordem 2 que satisfaz a equação
\frac{X-A}{2}=\frac{B+X}{3}+C.
Informações relevantes dadas:
As três matrizes A,B,C são 2\times2.
A incógnita é a matriz X também 2\times2.
A equação envolve soma de matrizes e multiplicação por escalares (divisão por escalares).]
Passo 2
Ideia básica (explicação didática dos conceitos usados):
Somar duas matrizes de mesma ordem é feito elemento a elemento. Se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) então M+N=(m_{ij}+n_{ij}).
Multiplicar uma matriz por um escalar k significa multiplicar cada entrada por k: kM=(k m_{ij}).
As operações acima obedecem às mesmas regras algébricas dos números (associatividade, comutatividade da soma, distributividade do escalar sobre a soma), logo podemos manipular a equação matricial como uma equação comum para isolar X.
Para eliminar denominadores escalares \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{3} é conveniente multiplicar ambos os lados por um múltiplo comum (por exemplo 6).
Passo 3
Multiplicar ambos os lados da equação por 6 (para eliminar os denominadores):
Como 6\cdot\frac{1}{2}=3 e 6\cdot\frac{1}{3}=2, isso vira
3(X-A)=2(B+X)+6C.
Passo 4
Expandir e isolar X. Primeiro aplicar distributiva:
3X-3A=2B+2X+6C.
Agora passar 2X para o lado esquerdo e os termos que não têm X para o lado direito:
3X-2X=2B+6C+3A.
Como 3X-2X=X, obtemos a expressão direta para X:
X=2B+6C+3A.
Isto é muito útil: reduzimos o problema a calcular a combinação linear das matrizes dadas.
Passo 5
Calcular cada termo da combinação linear, multiplicando cada matriz pelo seu escalar (lembrando que multiplicar por escalar é multiplicar cada entrada):