Se A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\\\ 3 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right], determine a matriz X de ordem 2 , tal que
\frac{X-A}{2}=\frac{B+X}{3}+C

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes de ordem 2:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz X de ordem 2 que satisfaz a equação
\frac{X-A}{2}=\frac{B+X}{3}+C.
Informações relevantes dadas:
  • As três matrizes A,B,C são 2\times2.
  • A incógnita é a matriz X também 2\times2.
  • A equação envolve soma de matrizes e multiplicação por escalares (divisão por escalares).]

Passo 2

Ideia básica (explicação didática dos conceitos usados):
  • Somar duas matrizes de mesma ordem é feito elemento a elemento. Se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) então M+N=(m_{ij}+n_{ij}).
  • Multiplicar uma matriz por um escalar k significa multiplicar cada entrada por k: kM=(k m_{ij}).
  • As operações acima obedecem às mesmas regras algébricas dos números (associatividade, comutatividade da soma, distributividade do escalar sobre a soma), logo podemos manipular a equação matricial como uma equação comum para isolar X.
  • Para eliminar denominadores escalares \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{3} é conveniente multiplicar ambos os lados por um múltiplo comum (por exemplo 6).

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da equação por 6 (para eliminar os denominadores):
6\cdot\frac{X-A}{2}=6\cdot\left(\frac{B+X}{3}+C\right).
Como 6\cdot\frac{1}{2}=3 e 6\cdot\frac{1}{3}=2, isso vira
3(X-A)=2(B+X)+6C.

Passo 4

Expandir e isolar X. Primeiro aplicar distributiva:
3X-3A=2B+2X+6C.
Agora passar 2X para o lado esquerdo e os termos que não têm X para o lado direito:
3X-2X=2B+6C+3A.
Como 3X-2X=X, obtemos a expressão direta para X:
X=2B+6C+3A.
Isto é muito útil: reduzimos o problema a calcular a combinação linear das matrizes dadas.

Passo 5

Calcular cada termo da combinação linear, multiplicando cada matriz pelo seu escalar (lembrando que multiplicar por escalar é multiplicar cada entrada):
  • Calcular 2B:
2B=2\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot(-1) & 2\cdot 2 \\[4pt] 2\cdot 1 & 2\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
  • Calcular 6C:
6C=6\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\cdot 4 & 6\cdot(-1) \\[4pt] 6\cdot 2 & 6\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}24 & -6 \\[4pt] 12 & 6\end{pmatrix}.
  • Calcular 3A:
3A=3\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 3 \\[4pt] 9 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Somar as matrizes obtidas, fazendo soma elemento a elemento.
Primeiro 2B+6C:
2B+6C= \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}24 & -6 \\[4pt] 12 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2+24 & 4+(-6) \\[4pt] 2+12 & 0+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22 & -2 \\[4pt] 14 & 6\end{pmatrix}.
Agora somar 3A:
X=(2B+6C)+3A= \begin{pmatrix}22 & -2 \\[4pt] 14 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 & 3 \\[4pt] 9 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22+6 & -2+3 \\[4pt] 14+9 & 6+(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}28 & 1 \\[4pt] 23 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro):
  • Calcular \dfrac{X-A}{2}. Primeiro X-A:
X-A= \begin{pmatrix}28 & 1 \\[4pt] 23 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26 & 0 \\[4pt] 20 & 4\end{pmatrix},
logo
\frac{X-A}{2}=\begin{pmatrix}13 & 0 \\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix}.
  • Calcular \dfrac{B+X}{3}+C. Primeiro B+X:
B+X= \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}28 & 1 \\[4pt] 23 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}27 & 3 \\[4pt] 24 & 3\end{pmatrix},
\frac{B+X}{3}=\begin{pmatrix}9 & 1 \\[4pt] 8 & 1\end{pmatrix},
\frac{B+X}{3}+C= \begin{pmatrix}9 & 1 \\[4pt] 8 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 & 0 \\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix}.
As duas expressões coincidem, portanto a matriz X encontrada está correta.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}28 & 1 \\[4pt] 23 & 3\end{pmatrix}]

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