Se B=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right], encontre condições sobre a, b, c e d para que A B=B A.
25. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz A fixa e pede condições sobre os elementos de B para que A e B comutem. Dados e pedido:
Dado: B=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, com a,b,c,d escalares (os elementos de B).
Pedido: encontrar condições sobre a,b,c,d tais que AB=BA.]
Passo 2
Vou calcular AB. Lembrete rápido: o produto de matrizes AB (duas 2\times2) tem cada entrada obtida por produto linha de A pela coluna de B. Escrevendo e calculando elemento a elemento:
AB = \begin{pmatrix} \text{linha 1 de }A\cdot\text{coluna 1 de }B & \text{linha 1 de }A\cdot\text{coluna 2 de }B \\[6pt] \text{linha 2 de }A\cdot\text{coluna 1 de }B & \text{linha 2 de }A\cdot\text{coluna 2 de }B \end{pmatrix}.
Agora substituindo números e somas de produtos:
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 2\cdot c & 1\cdot b + 2\cdot d \\[4pt] 3\cdot a + 4\cdot c & 3\cdot b + 4\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2c & b + 2d \\[4pt] 3a + 4c & 3b + 4d \end{pmatrix}.]
Passo 3
Agora calculo BA. Mesma técnica: produto linha de B por coluna de A:
Igualando AB e BA entrada a entrada (pois duas matrizes são iguais quando todas as entradas correspondentes são iguais), obtemos o sistema de equações:
da entrada (1,1):
a + 2c = a + 3b;
da entrada (1,2):
b + 2d = 2a + 4b;
da entrada (2,1):
3a + 4c = c + 3d;
da entrada (2,2):
3b + 4d = 2c + 4d.
Passo 5
Agora simplifico cada equação passo a passo:
Da (1,1): subtraindo a dos dois lados,
2c = 3b.
Essa é uma relação simples entre b e c.
Da (2,2): subtraindo 4d dos dois lados,
3b = 2c,
que é a mesma relação que já obtivemos (mesma que (1,1)). Então (2,2) é redundante.
Da (2,1): movendo termos,
3a + 4c = c + 3d \implies 3a + 3c = 3d \implies d = a + c.
Dividi por 3 para simplificar; resultado simples e útil.
Da (1,2): substituo a relação d = a + c encontrada para ver se sobra alguma condição nova. Começo simplificando (1,2):
que é novamente a mesma relação (2c = 3b). Portanto (1,2) não dá nova condição independente.
Passo 6
Concluímos que as condições necessárias e suficientes para AB=BA são exatamente as duas relações independentes que restaram:
\;2c = 3b;
\;d = a + c.
Interpretando: para qualquer a livre, e escolhendo b e c sujeitos a \;2c=3b (ou seja c=\tfrac{3}{2}b ou b=\tfrac{2}{3}c), e então escolhendo d igual a a+c, a matriz B comutará com A. Se alguma dessas relações falhar, AB\neq BA.