Quais das seguintes matrizes são antissimétricas?
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a matriz abaixo e pede para decidir se ela é antissimétrica:
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A matriz é
. - Precisamos responder “é antissimétrica?” (sim ou não) e justificar.]
Passo 2
Definição e consequências importantes (aulas rápidas para a prova).
- Uma matriz
é antissimétrica (ou skew-symmetric) se vale
Aqui
é a transposta de
: trocamos linhas por colunas, i.e., o elemento da linha
, coluna
vira o elemento da linha
, coluna
.
- Para uma matriz genérica
temos
- Igualando
coordenada a coordenada, obtemos as condições
Das duas primeiras vem
e
. Das outras duas vem
. Ou seja, para uma
antissimétrica a forma é
para algum
. Dica de prova rápida na prova: verifique se as entradas diagonais são zero e se
.]
Passo 3
Aplicando a definição à matriz dada.
- Primeiro calcule a transposta
. Trocando linhas por colunas:
Expliquei: o elemento que era
em posição
vai para posição
, passando a ser
em
; o elemento
em
vai para
.
- Agora calcule
:
Expliquei: multiplicar a matriz por
troca sinal de todas as entradas.]
Passo 4
Compare
com
.
- Observamos que
ou seja,
. Portanto a matriz satisfaz a definição de antissimétrica.
- Comentário amigo para a prova: você poderia ter visto isso mais rápido ao notar que as entradas da diagonal são
e que , isto é, a entrada é o negativo da . Isso já garante antissimetria em .]
Resposta
Sim —
é antissimétrica.]