Quais das seguintes matrizes são antissimétricas?
(b) \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz abaixo e pede para decidir se ela é antissimétrica:
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A matriz é 2\times2.
  • Precisamos responder “é antissimétrica?” (sim ou não) e justificar.]

Passo 2

Definição e consequências importantes (aulas rápidas para a prova).
  • Uma matriz A é antissimétrica (ou skew-symmetric) se vale
A^{T} = -A.
Aqui A^{T} é a transposta de A: trocamos linhas por colunas, i.e., o elemento da linha i, coluna j vira o elemento da linha j, coluna i.
  • Para uma matriz genérica 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
A^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad -A=\begin{pmatrix}-a & -b\\[4pt] -c & -d\end{pmatrix}.
  • Igualando A^{T}=-A coordenada a coordenada, obtemos as condições
a=-a,\quad d=-d,\quad c=-b,\quad b=-c.
Das duas primeiras vem a=0 e d=0. Das outras duas vem c=-b. Ou seja, para uma 2\times2 antissimétrica a forma é
\begin{pmatrix}0 & -\alpha\\[4pt] \alpha & 0\end{pmatrix}
para algum \alpha. Dica de prova rápida na prova: verifique se as entradas diagonais são zero e se a_{21}=-a_{12}.]

Passo 3

Aplicando a definição à matriz dada.
  • Primeiro calcule a transposta A^{T}. Trocando linhas por colunas:
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
Expliquei: o elemento que era -1 em posição (1,2) vai para posição (2,1), passando a ser -1 em (2,1); o elemento 1 em (2,1) vai para (1,2).
  • Agora calcule -A:
-A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
Expliquei: multiplicar a matriz por -1 troca sinal de todas as entradas.]

Passo 4

Compare A^{T} com -A.
  • Observamos que
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad -A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},
ou seja, A^{T}=-A. Portanto a matriz satisfaz a definição de antissimétrica.
  • Comentário amigo para a prova: você poderia ter visto isso mais rápido ao notar que as entradas da diagonal são 0 e que 1=-(-1), isto é, a entrada (2,1) é o negativo da (1,2). Isso já garante antissimetria em 2\times2.]

Resposta

Sim — \displaystyle \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} é antissimétrica.]

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