Prove os seguintes teoremas:
Mostre que se
, com
e
inteiros positivos, então
ou
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado afirma que, para inteiros positivos
tais que
pelo menos um dos fatores
ou
não ultrapassa
.
O conteúdo usado será uma prova por contradição, fundamentada nas propriedades da ordem e na definição de raiz quadrada.
O conteúdo usado será uma prova por contradição, fundamentada nas propriedades da ordem e na definição de raiz quadrada.
Passo 2
Suponha, por contradição, que ambos os fatores sejam maiores que
, isto é,
Então, multiplicando essas duas desigualdades, obtemos
Como
, segue que
Por outro lado, pela hipótese inicial temos
. Logo chegamos à contradição
Passo 3
A única forma de evitar essa contradição é negar a suposição inicial. Portanto, não é possível que ambos
e
sejam maiores que
. Concluímos que pelo menos um deles satisfaz
Resposta
Demonstra-se, por contradição, que se
com
, então necessariamente