Prove os seguintes teoremas:
Mostre que se n=a b, com a e b inteiros positivos, então a \leq \sqrt{n} ou b \leq \sqrt{n}.

Passo 1

O enunciado afirma que, para inteiros positivos a,b tais que
n = a b,
pelo menos um dos fatores a ou b não ultrapassa \sqrt{n}.
O conteúdo usado será uma prova por contradição, fundamentada nas propriedades da ordem e na definição de raiz quadrada.

Passo 2

Suponha, por contradição, que ambos os fatores sejam maiores que \sqrt{n}, isto é,
a > \sqrt{n} \quad\text{e}\quad b > \sqrt{n}.
Então, multiplicando essas duas desigualdades, obtemos
a \, b > \sqrt{n}\,\sqrt{n}.
Como \sqrt{n}\,\sqrt{n} = n, segue que
a\,b > n.
Por outro lado, pela hipótese inicial temos a\,b = n. Logo chegamos à contradição
n = a\,b > n.

Passo 3

A única forma de evitar essa contradição é negar a suposição inicial. Portanto, não é possível que ambos a e b sejam maiores que \sqrt{n}. Concluímos que pelo menos um deles satisfaz
a \le \sqrt{n} \quad\text{ou}\quad b \le \sqrt{n}.

Resposta

Demonstra-se, por contradição, que se n=a\,b com a,b\in\mathbb{Z}^+, então necessariamente
a \le \sqrt{n} \quad\text{ou}\quad b \le \sqrt{n}.

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