se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule :
\left|\begin{array}{ccc}2 a & 2 b & 2 c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right| \quad

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma coisa:
  • Dado que \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = -3.
  • Calcula-se o valor de \left|\begin{array}{ccc}2 a & 2 b & 2 c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right|.

Passo 2

Lembrete de uma propriedade fundamental de determinantes (explicação didática): se se multiplica todos os elementos de uma mesma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar k, então o determinante da nova matriz é k vezes o determinante original. Em forma matemática:
\text{Se }A'\text{ é obtida de }A\text{ multiplicando a linha }i\text{ por }k,\text{ então }\det(A')=k\det(A).éã
Isto decorre da linearidade do determinante em cada linha: cada linha é uma entrada linear e escalar na linha puxa para fora do determinante.

Passo 3

Aplicando a propriedade à primeira linha da matriz que queremos calcular: a primeira linha é (2a,2b,2c), que é exatamente 2 vezes (a,b,c). Logo podemos fatorar 2 da primeira linha:
\left|\begin{array}{ccc}2a & 2b & 2c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right| =2\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right|.

Passo 4

Agora observe a terceira linha (3,3,3): ela é 3 vezes (1,1,1). Aplicando a mesma propriedade à terceira linha da matriz dentro do parêntese do passo anterior, fatoramos 3:
\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right| =3\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|.

Passo 5

Combinando os fatores do passo 3 e do passo 4, temos:
\left|\begin{array}{ccc}2a & 2b & 2c \\\ d & e & f \\\\ 3 & 3 & 3\end{array}\right| =2\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| =6\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|.
Como o enunciado nos deu \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = -3, substituímos:
6\cdot(-3) = -18.

Resposta

-18

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