N a lei n(t)=15000 cdot(32)^t+k, em que k é uma constante real, n(t) representa a população que um pequeno município terá daqui a t anos, contados a partir de hoje. Sabendo que a população atual do município é de 10000 habitantes, determine:
o valor de k;

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de crescimento populacional
n(t)=15000cdotgl(32gr)^t+k
onde k é uma constante. Sabe-se que a população atual (isto é, em t=0) é 10000. Precisamos usar essa condição inicial para determinar k.

Passo 2

Aplicamos t=0 na expressão de n(t). Como n(0)=10000, temos
10000 = 15000cdotgl(32gr)^0+k =15000cdotgl(32gr)^k
Agora isolamos l(tfrac32r)^k:
gl(32gr)^k = 1000015000 = 23

Passo 3

Para encontrar k, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
k ,ln!gl(32gr) = ln!gl(23gr) = -ln!gl(32gr)
Logo,
k = -ln!l(32r)ln!l(32r) = -1

Resposta

k = -1

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