A lei que permite estimar a depreciação de um equipamento industrial é v(t)=5000 cdot 4^-0,02 t, em que v(t) é o valor (em reais) do equipamento t anos após sua aquisição.
Em quanto tempo ele passará a valer metade do valor da aquisição?

Passo 1

O enunciado dá a lei de depreciação
v(t)=5000cdot4^-0,02t
e pergunta em quanto tempo v(t) cai para a metade do valor de aquisição (metade de 5000 reais). Vamos usar equações exponenciais e logaritmos para resolver.

Passo 2

Para achar t tal que v(t)=2500, substituímos e obtemos
5000cdot4^-0,02t=2500.
Dividindo ambos os lados por 5000, fica
4^-0,02t=tfrac12.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(4^-0,02tr)=lnl(tfrac12r).
Pela propriedade ln(a^b)=bln a e sabendo ln(tfrac12)=-ln2, temos
-0,02,t;ln4 = -ln2

Passo 4

Isolando t:
t = -ln2-0,02,ln4 = ln20,02,ln4
Como ln4=2ln2, isso dá
t = ln20,02cdot2ln2 = 10,04 =25

Resposta

O equipamento valerá metade do valor de aquisição em 25 anos.

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