A lei do gás ideal relaciona a temperatura absoluta
do gás, a sua densidade volumétrica de partículas
e a pressão
, na forma abaixo:
onde
é a constante de Boltzmann. Em princípio p, T e n são funções da posição e do tempo. Adicionalmente, a densidade de momento linear em um gás é dada por
(medido em
no SI ),
é a massa média das partículas e
é o campo de velocidades com que se deslocam localmente no gás. No regime linear o gás satisfaz a segunda lei de Newton na forma abaixo:
sendo
o conjunto de outras densidades de força atuantes localmente. O gás ainda deve satisfazer a equação da continuidade de massa, que toma a forma abaixo:
Admita por simplicidade que
e
é uma constante (não depende da posição nem do tempo) no gás.
(a) Tomando a divergência da equação (2) e utilizando a equação da continuidade do gás (3), encontre uma equação que governe as ondas de pressão no gás.
(b) Uma vez que você tenha a equação geral para a pressão no gás, por análise dimensional encontre a velocidade de propagação das ondas no gás e a relacione com a temperatura
, a constante de Boltzmann
e a massa média das partículas
.
© Encontre a velocidade de propagação de ondas de som no ar, para
, admitindo-se que a massa média das partículas do ar vale
, supondo válido o modelo acima.
(a) Tomando a divergência da equação (2) e utilizando a equação da continuidade do gás (3), encontre uma equação que governe as ondas de pressão no gás.
(b) Uma vez que você tenha a equação geral para a pressão no gás, por análise dimensional encontre a velocidade de propagação das ondas no gás e a relacione com a temperatura
© Encontre a velocidade de propagação de ondas de som no ar, para
Passo 1
O enunciado fala sobre um gás ideal com leis: p = n k_B T, densidade de momento
e as equações de movimento (segunda lei de Newton sem forças externas) e de continuidade de massa. A temperatura
é constante e queremos (a) achar a equação de ondas para a pressão, (b) extrair a velocidade das ondas em termos de
,
e
, e © calcular numericamente essa velocidade para o ar a 300 K com massa média
.
Passo 2
Começamos tomando a divergência da equação de movimento sem forças externas:
Passo 3
No regime linear assumimos perturbações pequenas em torno de um estado de equilíbrio
, então
e podemos aproximar
$$
n_0 m \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla p$$
Passo 4
Aplicando divergência e usando
dá
$$
n_0 m,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{v}) = -\nabla^2 p$$
Passo 5
Já pela equação de continuidade linearizada
logo
Passo 6
Diferenciando essa última em relação a
e substituindo na divergência da segunda lei:
$$
n_0 m\Bigl(-\frac{1}{n_0}\frac{\partial^2 n}{\partial t^2}\Bigr) = -\nabla^2 p
m\frac{\partial^2 n}{\partial t^2} = \nabla^2 p$$
Passo 7
Como
com
constante, temos
. Então a equação de ondas para
fica:
Passo 8
Da forma geral de uma equação de onda
, identificamos
$$
c^2 = \frac{k_B T}{m},
c = \sqrt{\frac{k_B T}{m}}.$$
Passo 9
Para o ar com
,
e
, calculamos
$$
c = \sqrt{\frac{1{,}38\times10^{-23} \times 300}{3{,}5\times10^{-26}}} \approx 344,\mathrm{m/s}.$$
Resposta
A equação de ondas é
, a velocidade de propagação é
e para o ar a 300 K obtemos aproximadamente 344 m/s.