A lei do gás ideal relaciona a temperatura absoluta T do gás, a sua densidade volumétrica de partículas n e a pressão p, na forma abaixo:
p=n kB T
onde kB=1,38 times 10^-23 J / K é a constante de Boltzmann. Em princípio p, T e n são funções da posição e do tempo. Adicionalmente, a densidade de momento linear em um gás é dada por P=n m v (medido em m no SI ), v é a massa média das partículas e partial Ppartial t=-nabla p+f é o campo de velocidades com que se deslocam localmente no gás. No regime linear o gás satisfaz a segunda lei de Newton na forma abaixo:
f
sendo nabla cdot(n v)+partial npartial t=0 o conjunto de outras densidades de força atuantes localmente. O gás ainda deve satisfazer a equação da continuidade de massa, que toma a forma abaixo:
f=0
Admita por simplicidade que T e T é uma constante (não depende da posição nem do tempo) no gás.
(a) Tomando a divergência da equação (2) e utilizando a equação da continuidade do gás (3), encontre uma equação que governe as ondas de pressão no gás.
(b) Uma vez que você tenha a equação geral para a pressão no gás, por análise dimensional encontre a velocidade de propagação das ondas no gás e a relacione com a temperatura kB, a constante de Boltzmann m e a massa média das partículas T=300 K.
© Encontre a velocidade de propagação de ondas de som no ar, para m=3,5 times 10^-26 kg, admitindo-se que a massa média das partículas do ar vale , supondo válido o modelo acima.

Passo 1

O enunciado fala sobre um gás ideal com leis: p = n k_B T, densidade de momento P=n mv e as equações de movimento (segunda lei de Newton sem forças externas) e de continuidade de massa. A temperatura T é constante e queremos (a) achar a equação de ondas para a pressão, (b) extrair a velocidade das ondas em termos de kB, T e m, e © calcular numericamente essa velocidade para o ar a 300 K com massa média m=3,5times10^-26,kg.

Passo 2

Começamos tomando a divergência da equação de movimento sem forças externas:
partialpartial t(n m v) = -nabla p

Passo 3

No regime linear assumimos perturbações pequenas em torno de um estado de equilíbrio n0, então napprox n0 e podemos aproximar
$$
n_0 m \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla p$$

Passo 4

Aplicando divergência e usando nablacdot(n0 mpartialtv)=n0 mpartialt(nablacdotv)
$$
n_0 m,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{v}) = -\nabla^2 p$$

Passo 5

Já pela equação de continuidade linearizada
partial npartial t + n0,nablacdotv=0
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nablacdotv = -1n0partial npartial t

Passo 6

Diferenciando essa última em relação a t e substituindo na divergência da segunda lei:
$$
n_0 m\Bigl(-\frac{1}{n_0}\frac{\partial^2 n}{\partial t^2}\Bigr) = -\nabla^2 p n0 ml(-1n0partial^2 npartial t^2r) = -nabla^2 p
m\frac{\partial^2 n}{\partial t^2} = \nabla^2 p$$

Passo 7

Como p=n kB T com T constante, temos partial^2 p/partial t^2 = kB T,partial^2 n/partial t^2. Então a equação de ondas para p fica:
partial^2 ppartial t^2 = kB Tm,nabla^2 p

Passo 8

Da forma geral de uma equação de onda partialt^2 p = c^2nabla^2 p, identificamos
$$
c^2 = \frac{k_B T}{m}, c^2 = kB Tm,
c = \sqrt{\frac{k_B T}{m}}.$$

Passo 9

Para o ar com T=300,K, m=3,5times10^-26,kg e kB=1,38times10^-23,J/K, calculamos
$$
c = \sqrt{\frac{1{,}38\times10^{-23} \times 300}{3{,}5\times10^{-26}}} \approx 344,\mathrm{m/s}.$$

Resposta

A equação de ondas é partialt^2 p = (kB T/m)nabla^2 p, a velocidade de propagação é c=raizkB T/m e para o ar a 300 K obtemos aproximadamente 344 m/s.

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