Questão 5. Considere o problema

\left\{\begin{array}{l} u_{t}+2 u_{x}=-u, \text { para todos } x \in \mathbb{R}, t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), x \in \mathbb{R} \end{array}\right.
(A) (0.8pt) Obtenha a transformada de Fourier F(\cdot) de f(x)=e^{-|x|}, x \in \mathbb{R}
(B) (1.0pt) Encontre a solução u(x, t) (e a respectiva transformada de Fourier U(\cdot, t)) do problema do enunciado para f(x) conforme definida no ítem anterior.
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Bom Trabalho.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (A) a transformada de Fourier
F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx
de f(x)=e^{-|x|}\); e (B) a solução \(u(x,t)\) do problema \[\begin{cases} u_{t}+2u_{x}=-u,\quad x\in\mathbb{R},\;t>0,\\\ u(x,0)=f(x), \end{cases}
juntamente com a sua transformada de Fourier U(k,t)\]. Vamos usar a definição padrão de transformada em \(x e resolver o PDE via transformada de Fourier (ou pelas características, que leva ao mesmo resultado).

Passo 2

Calculamos
F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-ikx}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-ikx}\,dx+\int_{-\infty}^{0}e^{\,x}e^{-ikx}\,dx.
Cada integral é geométrica:
\int_{0}^{\infty}e^{-x(1+ik)}\,dx=\frac{1}{1+ik}, \qquad \int_{-\infty}^{0}e^{x(1-ik)}\,dx=\frac{1}{1-ik}.
Somando,
F(k)=\frac{1}{1+ik}+\frac{1}{1-ik} =\frac{(1-ik)+(1+ik)}{(1+ik)(1-ik)} =\frac{2}{1+k^{2}}.

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier ao PDE em x mantemos t fixo. Denotando
U(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-ikx}\,dx,
vem
\frac{\partial U}{\partial t}+2(ik)U=-U.
Isolando o termo temporal, obtemos a ODE
\frac{dU}{dt}=-(1+2ik)\,U,
cuja solução com condição inicial U(k,0)=F(k) é
U(k,t)=F(k)\,e^{-(1+2ik)t} =\frac{2}{1+k^{2}}\,e^{-(1+2ik)t}.

Passo 4

Para voltar a u(x,t) fazemos a inversa
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}U(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{e^{-t}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+k^{2}}e^{ik(x-2t)}\,dk.
Mas reconhecemos que
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+k^{2}}e^{iky}\,dk =e^{-|y|},
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u(x,t)=e^{-t}\,e^{-|\,x-2t\,|}.

Resposta

(A) \displaystyle F(k)=\frac{2}{1+k^{2}}.
(B)
\displaystyle U(k,t)=\frac{2}{1+k^{2}}\,e^{-(1+2ik)t}
e
\displaystyle u(x,t)=e^{-t}\,e^{-|x-2t|}.

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