Questão 5. Considere o problema
(A) (0.8pt) Obtenha a transformada de Fourier
de
(B) (1.0pt) Encontre a solução
(e a respectiva transformada de Fourier
do problema do enunciado para
conforme definida no ítem anterior.
Bom Trabalho.
(B) (1.0pt) Encontre a solução
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (A) a transformada de Fourier
de
juntamente com a sua transformada de Fourier
e resolver o PDE via transformada de Fourier (ou pelas características, que leva ao mesmo resultado).
Passo 2
Calculamos
Cada integral é geométrica:
Somando,
Passo 3
Aplicando a transformada de Fourier ao PDE em
mantemos
fixo. Denotando
vem
Isolando o termo temporal, obtemos a ODE
cuja solução com condição inicial
é
Passo 4
Para voltar a
fazemos a inversa
Mas reconhecemos que
logo
Resposta
(A)
.
(B)
e
(B)
e