A lei do movimento de uma partícula em três dimensões é dada da seguinte forma: \vec{r}(t)= (3 t \vec{i}+6 t \vec{j}+2 \vec{k}) \mathrm{m}. Determine:
a) O deslocamento da partícula nos instantes: t=2 \mathrm{~s} e t=1,5 t_{0}.
b) A velocidade da partícula no mesmo intervalo de tempo.
c) A aceleração total da partícula e as suas componentes tangencial e normal, no instante t=1
s.
d) Classifica o tipo de movimento determinando o raio da trajetória da partícula.
e) Graficar o movimento através da equação da trajectória da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a lei de posição em 3D
\vec r(t)=3t\,\vec i+6t\,\vec j+2\,\vec k
em metros. Pedem:
a) deslocamento nos instantes t=2 s e t=1{,}5\,t_0 (assumindo t_0=1 s, logo t=1{,}5 s);
b) velocidade nesses instantes;
c) aceleração total e suas componentes tangencial e normal em t=1 s;
d) tipo de movimento e raio da trajetória;
e) equação da trajetória (para fins de gráfico).

Passo 2

Calcular a posição em cada instante usando \vec r(t):
\vec r(2)=3\cdot2\,\vec i+6\cdot2\,\vec j+2\,\vec k=6\,\vec i+12\,\vec j+2\,\vec k\quad(\text{m}),
\vec r(1{,}5)=3\cdot1{,}5\,\vec i+6\cdot1{,}5\,\vec j+2\,\vec k=4{,}5\,\vec i+9\,\vec j+2\,\vec k\quad(\text{m}).
Se quisermos o deslocamento de 1{,}5 s a 2 s,
\Delta\vec r=\vec r(2)-\vec r(1{,}5)=(6-4{,}5)\,\vec i+(12-9)\,\vec j+(2-2)\,\vec k=1{,}5\,\vec i+3\,\vec j+0\,\vec k\quad(\text{m}).

Passo 3

A velocidade é \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}. Como
\vec r(t)=\bigl(3t,\,6t,\,2\bigr),
temos
\vec v(t)=\bigl(3,\,6,\,0\bigr)=3\,\vec i+6\,\vec j+0\,\vec k\quad(\text{m/s}),
constante. Portanto em t=1{,}5 s e em t=2 s vale sempre
\vec v=3\,\vec i+6\,\vec j\quad(\text{m/s}).

Passo 4

A aceleração é \vec a(t)=\tfrac{d\vec v}{dt}. Como \vec v é constante,
\vec a(t)=\bigl(0,0,0\bigr)\quad(\text{m/s}^2).
Em particular, em t=1 s temos \vec a=\vec0.
A componente tangencial é
a_T=\frac{d}{dt}\bigl|\vec v\bigr|=0
e a componente normal satisfaz a_N^2+ a_T^2=|\vec a|^2=0, logo
a_N=0.

Passo 5

Como \vec v é constante e \vec a=\vec0, o movimento é retilíneo uniforme. A curvatura é zero e o raio de curvatura \rho satisfaz
a_N=\frac{|\vec v|^2}{\rho}=0\quad\Longrightarrow\quad\rho=\infty.

Passo 6

Para graficar, basta a equação cartesiana: de x=3t e y=6t vem
\frac{y}{x}=\frac{6t}{3t}=2\quad\Longrightarrow\quad y=2x,
e z=2. É uma reta no plano z=2, com inclinação 2 no plano xy.

Resposta

a) \vec r(2)=6\,\vec i+12\,\vec j+2\,\vec k, \vec r(1{,}5)=4{,}5\,\vec i+9\,\vec j+2\,\vec k; deslocamento \Delta\vec r=1{,}5\,\vec i+3\,\vec j.
b) \vec v=3\,\vec i+6\,\vec j m/s (constante).
c) \vec a=\vec0, a_T=0, a_N=0 em t=1 s.
d) Movimento retilíneo uniforme, raio de curvatura \rho=\infty.
e) Trajetória: y=2x,\;z=2.

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