A lei do movimento de uma partícula em três dimensões é dada da seguinte forma: \vec{r}(t)= (3 t \vec{i}+6 t \vec{j}+2 \vec{k}) \mathrm{m}. Determine:
a) O deslocamento da partícula nos instantes: t=2 \mathrm{~s} e t=1,5 t_{0}.
b) A velocidade da partícula no mesmo intervalo de tempo.
c) A aceleração total da partícula e as suas componentes tangencial e normal, no instante t=1
s.
d) Classifica o tipo de movimento determinando o raio da trajetória da partícula.
e) Graficar o movimento através da equação da trajectória da partícula.
Passo 1
O enunciado dá a lei de posição em 3D
\vec r(t)=3t\,\vec i+6t\,\vec j+2\,\vec k
em metros. Pedem:
a) deslocamento nos instantes t=2 s e t=1{,}5\,t_0 (assumindo t_0=1 s, logo t=1{,}5 s);
b) velocidade nesses instantes;
c) aceleração total e suas componentes tangencial e normal em t=1 s;
d) tipo de movimento e raio da trajetória;
e) equação da trajetória (para fins de gráfico).
Passo 2
Calcular a posição em cada instante usando \vec r(t):
e z=2. É uma reta no plano z=2, com inclinação 2 no plano xy.
Resposta
a) \vec r(2)=6\,\vec i+12\,\vec j+2\,\vec k, \vec r(1{,}5)=4{,}5\,\vec i+9\,\vec j+2\,\vec k; deslocamento \Delta\vec r=1{,}5\,\vec i+3\,\vec j.
b) \vec v=3\,\vec i+6\,\vec j m/s (constante).
c) \vec a=\vec0, a_T=0, a_N=0 em t=1 s.
d) Movimento retilíneo uniforme, raio de curvatura \rho=\infty.
e) Trajetória: y=2x,\;z=2.