Obtenha a expressão para a energia liberada em uma fissão nuclear.
Carga fundamental e=(5 / 3) 10^{-19}
Lei de Gauss \oint \boldsymbol{d} \boldsymbol{S} \boldsymbol{E}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \varepsilon_{0}=9.10^{-12}
Diferença de potencial \Delta v=-\int \boldsymbol{d} \boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{E} \boldsymbol{E}=-\nabla v
Força de Lorentz \boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \boldsymbol{d} \boldsymbol{F}_{\boldsymbol{B}}=i \boldsymbol{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}
Lei de Ampère-Maxwell \oint \boldsymbol{d} \boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(i+\varepsilon_{0} \frac{d \Phi_{E}}{d t}\right) \mu_{0}=4 \pi 10^{-7}
Lei da Indução \oint \boldsymbol{d} \boldsymbol{l} \cdot \boldsymbol{E}=-\frac{d \Phi_{B}}{d t} \Phi_{B}=\int \boldsymbol{d} \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{B}
Indutância L=\frac{\Phi_{B}}{i}
Equações de Maxwell (forma diferencial) \begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \\\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \end{gathered} \begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \\\ \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(\boldsymbol{j}+\varepsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede a expressão para a energia liberada em uma fissão nuclear. O principal mecanismo de liberação de energia na fissão é a repulsão eletrostática entre os dois fragmentos que se formam quando o núcleo-pai se divide. Para modelar isso, vamos usar o potencial de Coulomb entre duas cargas pontuais e a estimativa de raios nucleares.

Passo 2

Considere que o núcleo-pai, de número de prótons Z e número de massa A, se fende em dois fragmentos de números de prótons Z_1 e Z_2 (com Z_1+Z_2=Z) e números de massa A_1 e A_2 (com A_1+A_2=A). No instante de “scission” eles estão em contato, separados por uma distância
d = R_1 + R_2
onde R_1 e R_2 são os raios dos fragmentos. A energia de repulsão eletrostática (potencial de Coulomb) é
E_{\rm coul} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q_1\,Q_2}{d}
com Q_i = Z_i\,e.

Passo 3

Para núcleos, usa-se a fórmula empírica
R_i = r_{0}\,A_{i}^{1/3}
onde r_{0}\approx1{,}2\times10^{-15},m. Logo,
d = r_{0}\bigl(A_{1}^{1/3}+A_{2}^{1/3}\bigr)
e
Q_1\,Q_2 = Z_{1}\,Z_{2}\,e^{2}.

Passo 4

Substituindo em E_{\rm coul}, obtemos
E_{\rm coul} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{Z_{1}Z_{2}\,e^{2}} {r_{0}\bigl(A_{1}^{1/3}+A_{2}^{1/3}\bigr)}.
Essa é a energia potencial eletrostática disponível para ser convertida em energia cinética dos fragmentos — ou seja, é a energia aproximada liberada na fissão nuclear.

Resposta

E_{\rm lib} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{Z_{1}\,Z_{2}\,e^{2}} {r_{0}\,\bigl(A_{1}^{1/3}+A_{2}^{1/3}\bigr)}.

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