Lei do resfriamento de Newton. De acordo com a lei do resfriamento de Newton, se um objeto na temperatura for imerso em um meio tendo a temperatura constante , então a taxa de mudança de é proporcional à diferença da temperatura . Isso gera a equação diferencial
(a) Resolva a equação diferencial para .
(b) Um termômetro com uma leitura de é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de . Depois de 6 minutos, o termômetro indica . Qual é a leitura após 20 minutos?
Passo 1
O enunciado nos dá a lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto mergulhado num meio de temperatura constante satisfaz a equação diferencial
O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Isolamos variáveis e integramos. Reescrevendo,
Integrando ambos os lados,
Elevando exponencial e reescrevendo a constante,
M - T = C,e^-kt Longrightarrow T(t) = M - C,e^-kt
Como C = M - T(0), fica
T(t) = M + l(T(0) - Mr)e^-kt
Passo 3
Agora aplicamos as condições do termômetro: T(0)=100^circF e M=70^circF. Então