Lei do resfriamento de Newton. De acordo com a lei do resfriamento de Newton, se um objeto na temperatura T for imerso em um meio tendo a temperatura constante M, então a taxa de mudança de T é proporcional à diferença da temperatura M-T. Isso gera a equação diferencial
d T / d t=k(M-T)
(a) Resolva a equação diferencial para T.
(b) Um termômetro com uma leitura de 100^circ F é colocado em um meio tendo uma temperatura constante de 70^circ F. Depois de 6 minutos, o termômetro indica 80^circ F. Qual é a leitura após 20 minutos?

Passo 1

O enunciado nos dá a lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura T(t) de um objeto mergulhado num meio de temperatura constante M satisfaz a equação diferencial
dTdt = kl(M - Tr)
O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Isolamos variáveis e integramos. Reescrevendo,
dTM - T = k,dt
Integrando ambos os lados,
integral dTM - T = integral k,dt Longrightarrow -,lnl|M - Tr| = kt + C1
Elevando exponencial e reescrevendo a constante,
M - T = C,e^-kt Longrightarrow T(t) = M - C,e^-kt
Como C = M - T(0), fica
T(t) = M + l(T(0) - Mr)e^-kt

Passo 3

Agora aplicamos as condições do termômetro: T(0)=100^circF e M=70^circF. Então
T(t) = 70 + (100 - 70),e^-kt = 70 + 30,e^-kt

Passo 4

Para achar k, usamos T(6)=80^circF. Logo,
80 = 70 + 30,e^-6k Longrightarrow 30,e^-6k = 10 Longrightarrow e^-6k = tfrac13 Longrightarrow -6k = ln!l(tfrac13r) Longrightarrow k = 16ln 3

Passo 5

Finalmente calculamos T(20). Substituindo k em
T(20) = 70 + 30,e^-20k = 70 + 30,e^-tfrac206ln 3 = 70 + 30cdot 3^-tfrac206 = 70 + 30cdot 3^-tfrac103
Numericamente, 3^tfrac103approx 38,93, então
T(20)approx 70 + 3038,93approx 70,77^circF

Resposta

(a) T(t)=M + l(T(0)-Mr)e^-kt
(b) T(20)approx 70,77^circF

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