A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma gripe, em certa metrópole:
, em que
é o número de pessoas infectadas
dias após a realização desse estudo e
e
são constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000 pessoas infectadas e que, após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine: a) 0 s valores de
e
. b) Número de infectados pela gripe após 16 horas do início dos estudos. c) Número mínimo de dias necessários para que o número de infectados ultrapasse 3 milhões. (pode-se usar
)
Passo 1
O enunciado dá a função de crescimento exponencial do número de infectados:
. Precisamos achar as constantes
e
usando as condições iniciais, depois calcular
para
horas (convertendo pra dias) e, por fim, achar o tempo mínimo em dias para
. Vamos usar propriedades de potências de base 2 e uma aproximação de
.
Passo 2
Para encontrar
e
, usamos as duas condições: no início (
) havia 3000 infectados e em
dias havia 24000. Primeiro, colocando
em
obtenho
. Depois, para
:
Logo
Passo 3
Para o número de infectados após 16 horas, converto 16 horas em dias:
dia. Substituindo em
:
Passo 4
Para achar o tempo mínimo em que ultrapassa 3 milhões, monto a desigualdade:
Dividindo por 3000:
. Usando
, a gente tem
Como queremos o número mínimo de dias inteiros, o resultado é 7 dias.
Resposta
a)
,
. b) 6000 infectados. c) 7 dias.