A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma gripe, em certa metrópole: N(t)=a cdot 2^b t, em que N(t) é o número de pessoas infectadas t dias após a realização desse estudo e a e b são constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000 pessoas infectadas e que, após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine: a) 0 s valores de a e b. b) Número de infectados pela gripe após 16 horas do início dos estudos. c) Número mínimo de dias necessários para que o número de infectados ultrapasse 3 milhões. (pode-se usar 2^10 sim 10^3 )

Passo 1

O enunciado dá a função de crescimento exponencial do número de infectados: N(t)=acdot2^b,t. Precisamos achar as constantes a e b usando as condições iniciais, depois calcular N(t) para t=16 horas (convertendo pra dias) e, por fim, achar o tempo mínimo em dias para N(t)>3times10^6. Vamos usar propriedades de potências de base 2 e uma aproximação de 2^10sim10^3.

Passo 2

Para encontrar a e b), usamos as duas condições: no início ( t=0) havia 3000 infectados e em t=2 dias havia 24000. Primeiro, colocando t=0 em N(t)=acdot2^b,t obtenho a=3000. Depois, para t=2:
3000cdot2^bcdot2=24000
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2^2b=8=2^3implies2b=3implies b=1,5 .

Passo 3

Para o número de infectados após 16 horas, converto 16 horas em dias: t=16/24=2/3 dia. Substituindo em N(t):
Nl(2/3r)=3000cdot2^1,5,(2/3)=3000cdot2^1=6000

Passo 4

Para achar o tempo mínimo em que ultrapassa 3 milhões, monto a desigualdade:
3000cdot2^1,5,t>3times10^6
Dividindo por 3000: 2^1,5,t>1000. Usando 2^10sim10^3, a gente tem
1,5,t>10implies t>101,5=6,67 dias
Como queremos o número mínimo de dias inteiros, o resultado é 7 dias.

Resposta

a) a=3000, b=1,5. b) 6000 infectados. c) 7 dias.

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