Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta:
a) (F) Seja
é uma série de potências, com raio de convergência 2. Assim, 2 pertence ao intervalo de convergência da série.
a) (F) Seja
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por
com um raio de convergência de 2. A pergunta é se o valor
faz parte do intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma série de potências, o que significa o raio de convergência e como isso determina para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, uma série de potências é uma soma infinita onde cada termo é da forma
. Aqui,
são os coeficientes e
é a variável. Essas séries são muito usadas em matemática para representar funções de maneira que seja fácil analisar seu comportamento.
Passo 3
O raio de convergência de uma série de potências é o valor
que determina o intervalo
, onde a série converge absolutamente. Fora desse intervalo, a série diverge. No nosso caso, o raio de convergência
é 2.
Passo 4
Com o raio de convergência igual a 2, se a série for centrada em
(que parece ser o caso aqui, já que não é mencionado outro centro), o intervalo de convergência será
. Ou seja, para valores de
entre -2 e 2, a série converge.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se o ponto
está incluso no intervalo de convergência. Note que o intervalo aberto
não inclui os extremos, ou seja, -2 e 2 não estão no intervalo onde a série converge. Portanto,
não pertence ao intervalo de convergência.
Resposta
Falso.