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Calcule integral0^pi / 2 cos ^3 theta sen theta d theta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida integral0^pi / 2 cos^3 theta , sin theta , dtheta. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral envolve as funções cos theta e sin theta elevadas a potências. Quando temos um produto dessas funções, a substituição é uma técnica eficiente para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observamos que cos theta está elevada ao cubo e multiplicada por sin theta, que é a derivada de cos theta.
Definimos:
u = cos theta

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de u em relação a theta:
dudtheta = -sin theta Rightarrow du = -sin theta , dtheta

Passo 5

Substituímos u e du na integral original:
integral0^pi / 2 cos^3 theta , sin theta , dtheta = integral0^pi / 2 u^3 cdot (-du)

Passo 6

Simplificamos a integral levando em conta os limites de integração. Quando theta = 0, u = cos 0 = 1. Quando theta = pi/2, u = cos (pi/2) = 0. Portanto, os novos limites de integração são de 1 a 0. Considerando o sinal negativo, invertemos os limites:
integral1^0 u^3 cdot (-du) = integral0^1 u^3 , du

Passo 7

Agora, integramos u^3 em relação a u:
integral0^1 u^3 , du = [ u^44 ]0^1

Passo 8

Calculamos os valores nos limites de integração:
u^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14

Resposta

O valor da integral é 14.

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