Leia com atenção. Justifique suas respostas. Use palavras para conectar suas ideias.
Encontre a área da região do plano limitada pelas curvas
e
. Faça um esboço da região. Depois encontre o volume do sólido obtido ao rotacionar esta regiáo entorno do eixo
.
Encontre a área da região do plano limitada pelas curvas
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) a área da região do plano limitada pelas curvas
(uma parábola voltada para baixo) e
(uma reta de inclinação 1), e (ii) o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno do eixo
. Para resolver vamos usar cálculo de integrais: primeiro para área entre curvas e depois para volume de revolução pelo método dos “anéis” (washers).
Passo 2
Precisamos saber onde as curvas se encontram, pois esses serão os limites de integração. Igualamos
e obtemos
Logo,
ou
. Nessas abscissas,
dá
e
. Portanto a região fica entre
e
.
Passo 3
Para esboçar a região, note que:
– A parábola tem zeros em
e
e vértice em
,
.
– A reta passa por
e
.
Entre e
, a parábola está sempre acima da reta. Assim, no plano
, o contorno superior é dado por
e o inferior por
, fechando uma “fatia” limitada verticalmente.
– A parábola
– A reta
Entre
Passo 4
A área
entre duas curvas de
a
é
com
(topo) e
(base), e
,
. Assim,
Calculemos:
Passo 5
Para o volume
pelo método dos anéis, usamos
onde
é a distância do eixo
ao contorno superior
e
ao contorno inferior
. Logo,
Expandindo:
então o integrando fica
. Integramos:
Avaliando de 0 a 4:
Logo,
Resposta
A área da região é
e o volume do sólido de revolução em torno do eixo
é