Leia com atenção. Justifique suas respostas. Use palavras para conectar suas ideias.
Encontre a área da região do plano limitada pelas curvas y=5 x-x^2 e y=x. Faça um esboço da região. Depois encontre o volume do sólido obtido ao rotacionar esta regiáo entorno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) a área da região do plano limitada pelas curvas y=5x - x^2 (uma parábola voltada para baixo) e y=x (uma reta de inclinação 1), e (ii) o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno do eixo x. Para resolver vamos usar cálculo de integrais: primeiro para área entre curvas e depois para volume de revolução pelo método dos “anéis” (washers).

Passo 2

Precisamos saber onde as curvas se encontram, pois esses serão os limites de integração. Igualamos
5x - x^2 = x
e obtemos
5x - x^2 - x = 0 Longrightarrow -x^2 +4x = 0 Longrightarrow x(x -4)=0
Logo, x=0 ou x=4. Nessas abscissas, y=x y(0)=0 e y(4)=4. Portanto a região fica entre x=0 e x=4.

Passo 3

Para esboçar a região, note que:
– A parábola y=5x - x^2 tem zeros em x=0 e x=5 e vértice em x=2, y(2)=10-4=6.
– A reta y=x passa por (0,0) e (4,4).
Entre x=0 e x=4, a parábola está sempre acima da reta. Assim, no plano xy, o contorno superior é dado por y=5x - x^2 e o inferior por y=x, fechando uma “fatia” limitada verticalmente.

Passo 4

A área A entre duas curvas de x=a a x=b é
A = integrala^b l[f(x) - g(x)r],dx
com f(x)=5x - x^2 (topo) e g(x)=x (base), e a=0, b=4. Assim,
A = integral0^4 l[(5x - x^2) - xr],dx = integral0^4 (4x - x^2),dx
Calculemos:
integral (4x - x^2),dx = 2x^2 - x^33 Longrightarrow A = gl[2x^2 - x^33gr]0^4 = l(2cdot16 - 643r) - 0 = 32 - 643 = 96 - 643 = 323

Passo 5

Para o volume V pelo método dos anéis, usamos
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é a distância do eixo x ao contorno superior l(y=5x - x^2r) e r(x) ao contorno inferior l(y=xr). Logo,
V = pi integral0^4 l[(5x - x^2)^2 - x^2r],dx
Expandindo:
(5x - x^2)^2 = 25x^2 -10x^3 + x^4,
então o integrando fica 25x^2 -10x^3 + x^4 - x^2 = x^4 -10x^3 +24x^2. Integramos:
integral (x^4 -10x^3 +24x^2),dx = x^55 - 10x^44 + 24x^33 = x^55 - 5x^42 + 8x^3
Avaliando de 0 a 4:
l[x^55 - 5x^42 + 8x^3r]0^4 = l(10245 - 5cdot2562 + 8cdot64r) = 10245 - 640 + 512 = 10245 - 128 = 1024 - 6405 = 3845
Logo,
V = pi cdot 3845 = 384pi5

Resposta

A área da região é
323,
e o volume do sólido de revolução em torno do eixo x é
384pi5

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