Leia com atenção todas as questões e explique detalhadamente cada passo da resolução. Resoluções sem a devida explicação não serão consideradas.
Mostre que o fluxo de um campo elétrico uniforme, através de um hemisfério de uma superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo campo elétrico uniforme, através de uma área delimitada por uma circunferência, perpendicular ao referido vetor campo elétrico uniforme, cujo raio é igual ao da semiesfera.
Mostre que o fluxo de um campo elétrico uniforme, através de um hemisfério de uma superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo campo elétrico uniforme, através de uma área delimitada por uma circunferência, perpendicular ao referido vetor campo elétrico uniforme, cujo raio é igual ao da semiesfera.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o fluxo de um campo elétrico uniforme através de um hemisfério de raio
é igual ao fluxo através de um disco de raio
cuja área é perpendicular ao campo. O conteúdo principal aqui é cálculo de fluxo elétrico definido por
e uso de coordenadas esféricas para o hemisfério.
Passo 2
Escolhemos o campo uniforme na direção
, ou seja
. Para o hemisfério parametrizamos em coordenadas esféricas com
,
e
. O vetor área elementar é
e o produto escalar fica
Passo 3
Agora integramos sobre
de
a
e
de
a
:
Usando
vem
Passo 4
Para o disco de raio
perpendicular ao campo, cada
está alinhado com
, logo
e como a área do disco é
, o fluxo é
Passo 5
Comparando os dois resultados, vemos que
ou seja, os fluxos coincidem como queríamos demonstrar.