Leia com atenção todas as questões e explique detalhadamente cada passo da resolução. Resoluções sem a devida explicação não serão consideradas.
Mostre que o fluxo de um campo elétrico uniforme, através de um hemisfério de uma superfície esférica, é igual ao fluxo desse mesmo campo elétrico uniforme, através de uma área delimitada por uma circunferência, perpendicular ao referido vetor campo elétrico uniforme, cujo raio é igual ao da semiesfera.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fluxo de um campo elétrico uniforme através de um hemisfério de raio R é igual ao fluxo através de um disco de raio R cuja área é perpendicular ao campo. O conteúdo principal aqui é cálculo de fluxo elétrico definido por
\Phi = \iint_S \mathbf{E}\!\cdot\!d\mathbf{A}
e uso de coordenadas esféricas para o hemisfério.

Passo 2

Escolhemos o campo uniforme na direção z, ou seja \mathbf{E}=E\,\hat{\mathbf{z}}. Para o hemisfério parametrizamos em coordenadas esféricas com r=R, \theta\in[0,\pi/2] e \varphi\in[0,2\pi]. O vetor área elementar é
d\mathbf{A} = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\;\hat{\mathbf{r}}\,,
e o produto escalar fica
\mathbf{E}\!\cdot\!d\mathbf{A} = E\,\hat{\mathbf{z}}\!\cdot\!\hat{\mathbf{r}}\;R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = E\cos\theta\;R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Agora integramos sobre \varphi de 0 a 2\pi e \theta de 0 a \pi/2:
\Phi_{\text{hemi}} = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2} E\,R^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta\,d\varphi = E\,R^2\,(2\pi)\,\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
Usando
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta =\frac12\Bigl[-\tfrac18\cos(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac12\cdot1 =\frac12,
vem
\Phi_{\text{hemi}} = E\,R^2\,(2\pi)\,\frac12 = E\,\pi R^2.

Passo 4

Para o disco de raio R perpendicular ao campo, cada d\mathbf{A} está alinhado com \mathbf{E}, logo
\mathbf{E}\!\cdot\!d\mathbf{A} = E\,dA
e como a área do disco é \pi R^2, o fluxo é
\Phi_{\text{disco}} = E \int dA = E\,\pi R^2.

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que
\Phi_{\text{hemi}} = E\,\pi R^2 = \Phi_{\text{disco}},
ou seja, os fluxos coincidem como queríamos demonstrar.

Resposta

\Phi_{\text{hemisfério}} = \Phi_{\text{disco}} = E\,\pi R^2é

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