Seja a função vetorial \overrightarrow{\mathcal{C}}=\frac{1}{r^{2}} \widehat{r}.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e., \vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{C}}.
(b) Calcule \oint \overrightarrow{\mathcal{C}} \cdot da na superfície de uma esfera de raio r centrada na origem de coordenadas.
(c) Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para \vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
\overrightarrow{\mathcal{C}}(\vec r)=\frac{1}{r^{2}}\widehat{r}
e pede: (a) a divergência de \overrightarrow{\mathcal{C}}; (b) o fluxo sobre a superfície de uma esfera de raio r; (c) usar o teorema da divergência para explicar a contradição entre (a) e (b); (d) expressar \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}} de forma correta usando a delta de Dirac. O conteúdo envolve divergência em coordenadas esféricas, teorema de Gauss e função delta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial F_r(r)\,\widehat r, vale
\nabla\cdot\bigl(F_r(r)\,\widehat r\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}F_r(r)\bigr).
Aqui F_r(r)=1/r^{2}, logo
r^{2}F_r(r)=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial r}(r^{2}F_r)=0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}}=0 \quad(r\neq0).

Passo 3

Para o fluxo
\Phi=\oint_{S}\overrightarrow{\mathcal{C}}\cdot d\vec A,
numa esfera de raio r tem-se d\vec A=\widehat r\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e
\overrightarrow{\mathcal{C}}\cdot d\vec A =\frac{1}{r^{2}}\,\widehat r\cdot\bigl(\widehat r\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\bigr) =\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Integrando \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi]:
\Phi =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =4\pi.

Passo 4

O teorema da divergência diz
\int_{V}(\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}})\,dV =\oint_{S}\overrightarrow{\mathcal{C}}\cdot d\vec A.
Se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}}=0 em todo V, o lado esquerdo seria zero, mas o fluxo (lado direito) deu 4\pi. A contradição ocorre porque \overrightarrow{\mathcal{C}} é singular na origem: a divergência não é realmente zero ali, e o teorema só vale se o campo for suave no interior.

Passo 5

Para capturar a contribuição pontual na origem usamos a delta de Dirac em 3D. Como
\int_{V}\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}}\,dV =4\pi \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}} =4\pi\,\delta^{(3)}(\vec r),
e de fato essa expressão reproduz o fluxo correto e zera fora de r=0.

Resposta

(a) \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}}=0 para r\neq0.
(b) \displaystyle\oint\overrightarrow{\mathcal{C}}\cdot d\vec A=4\pi.
(c) O teorema da divergência falha na origem pois o campo é singular lá; a divergência tem um pico que não aparece no cálculo clássico.
(d) \displaystyle\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{C}}=4\pi\,\delta^{(3)}(\vec r).

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