Seja a função vetorial
.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e.,
.
(b) Calcule
da na superfície de uma esfera de raio r centrada na origem de coordenadas.
(c) Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para
.
(a) Calcule a divergência desta função, i.e.,
(b) Calcule
(c) Use o teorema da divergência no resultado anterior e explique a origem da aparente contradição entre os resultados (a) e (b).
(d) Usando a função delta de Dirac, escreva uma expressão correta para
Passo 1
O enunciado define o campo vetorial
e pede: (a) a divergência de
; (b) o fluxo sobre a superfície de uma esfera de raio
; (c) usar o teorema da divergência para explicar a contradição entre (a) e (b); (d) expressar
de forma correta usando a delta de Dirac. O conteúdo envolve divergência em coordenadas esféricas, teorema de Gauss e função delta.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial
, vale
Aqui
, logo
Passo 3
Para o fluxo
numa esfera de raio
tem-se
e
Integrando
,
:
Passo 4
O teorema da divergência diz
Se
em todo
, o lado esquerdo seria zero, mas o fluxo (lado direito) deu
. A contradição ocorre porque
é singular na origem: a divergência não é realmente zero ali, e o teorema só vale se o campo for suave no interior.
Passo 5
Para capturar a contribuição pontual na origem usamos a delta de Dirac em 3D. Como
e de fato essa expressão reproduz o fluxo correto e zera fora de
.
Resposta
(a)
para
.
(b)
(c) O teorema da divergência falha na origem pois o campo é singular lá; a divergência tem um pico que não aparece no cálculo clássico.
(d)
(b)
(c) O teorema da divergência falha na origem pois o campo é singular lá; a divergência tem um pico que não aparece no cálculo clássico.
(d)