Leia a seção sobre condicionamento de sistemas lineares e calcule os números de condicionamento das seguintes matrizes com relação a (\|\cdot\|_{\infty}).
B=\left[ \begin{array}{ll}\frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de condicionamento da matriz B em relação à norma \|\cdot\|_{\infty}. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\[4pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
O que precisa ser encontrado: o valor de \operatorname{cond}_{\infty}(B), que por definição é
\operatorname{cond}_{\infty}(B)=\|B\|_{\infty}\,\|B^{-1}\|_{\infty}.]

Passo 2

Explicando a norma \|\cdot\|_{\infty} para matrizes (mínimo necessário, passo a passo).
  • Para uma matriz A=(a_{ij}) em \mathbb{R}^{n\times n}, a norma \|A\|_{\infty} é o máximo das somas das linhas em valor absoluto:
\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|.
Isto é, soma-se os módulos dos elementos de cada linha e toma-se o maior desses valores. Assim vamos calcular primeiro \|B\|_{\infty}.

Passo 3

Cálculo de \|B\|_{\infty}. As somas das linhas de B são:
linha 1:
\left|\tfrac{1}{2}\right|+\left|\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6}.
linha 2:
\left|\tfrac{1}{3}\right|+\left|\tfrac{1}{4}\right|=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{7}{12}.
Agora comparando \tfrac{5}{6} e \tfrac{7}{12}: \tfrac{5}{6}=\tfrac{10}{12}>\tfrac{7}{12}. Portanto
\|B\|_{\infty}=\tfrac{5}{6}.

Passo 4

Agora precisamos de B^{-1}. Para matrizes 2\times2, se
B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
então
\det(B)=ad-bc \qquad\text{e}\qquad B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix},
desde que \det(B)\neq 0. Vamos aplicar com a=\tfrac{1}{2}, b=\tfrac{1}{3}, c=\tfrac{1}{3}, d=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Cálculo do determinante:
\det(B)=\left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{4}\right)-\left(\tfrac{1}{3}\right)\left(\tfrac{1}{3}\right) =\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{9}.
Colocando em denominador comum 72:
\det(B)=\tfrac{9}{72}-\tfrac{8}{72}=\tfrac{1}{72}.
Como \det(B)=\tfrac{1}{72}\neq 0, a inversa existe.

Passo 6

Cálculo de B^{-1} usando a fórmula:
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =72\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando:
B^{-1}=\begin{pmatrix}72\cdot\tfrac{1}{4} & 72\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big)\\[4pt] 72\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big) & 72\cdot\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}18 & -24\\[4pt] -24 & 36\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculamos \|B^{-1}\|_{\infty} como máximo das somas das linhas em valor absoluto:
linha 1:
|18|+|-24|=18+24=42.
linha 2:
|-24|+|36|=24+36=60.
Portanto
\|B^{-1}\|_{\infty}=60.

Passo 8

Finalmente, o número de condicionamento relativa à norma infinito é
\operatorname{cond}_{\infty}(B)=\|B\|_{\infty}\,\|B^{-1}\|_{\infty} =\tfrac{5}{6}\cdot 60.
Fazendo a multiplicação:
\tfrac{5}{6}\cdot 60=5\cdot 10=50.

Resposta

\operatorname{cond}_{\infty}(B)=50

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