Um leito é composto por partículas cúbicas de 0,020 \mathrm{~m} de aresta. A densidade global (bulk) do leito é 980 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} e a densidade das partículas cúbicas é 1500 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a porosidade do leito e a área superficial específica do leito. Repita para as mesmas condições, mas para partículas cilíndricas com diâmetro \mathrm{D}=0,02 \mathrm{~m} e comprimento \mathrm{h}=1,5 \mathrm{D}.

Passo 1

O enunciado dá dois casos (partículas cúbicas e partículas cilíndricas) e pede: porosidade do leito e área superficial específica do leito em cada caso. Dados fornecidos:
  • aresta da partícula cúbica: \,L=0,020\\ \mathrm{m}\,;
  • densidade global (bulk) do leito: \,\rho_{b}=980\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\,;
  • densidade das partículas sólidas: \,\rho_{p}=1500\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}\,;
  • para partículas cilíndricas: diâmetro \,D=0,020\\ \mathrm{m}\, e comprimento \,h=1,5D=0,030\\ \mathrm{m}\,.
    Perguntas explícitas que vamos responder: (1) porosidade \varepsilon do leito; (2) área superficial específica do leito a (superfície de partículas por unidade de volume de leito), para o caso cúbico e para o caso cilíndrico.

Passo 2

Conceito e fórmula da porosidade. Porosidade \varepsilon é a fração do volume do leito ocupada por vazios (fluido), isto é:
\varepsilon=\frac{V_{\text{vazio}}}{V_{\text{leito}}}.
Relação prática com densidades: a densidade global do leito é a massa de sólido por volume total do leito, e pode ser escrita como a massa de partículas por volume do leito. Se \rho_{p} é a densidade das partículas sólidas e \varepsilon a porosidade, a fração volumétrica sólida é 1-\varepsilon. Assim:
\rho_{b}=\rho_{p}\,(1-\varepsilon).
Desse modo isolamos \varepsilon:
\varepsilon=1-\frac{\rho_{b}}{\rho_{p}}.
Essa fórmula é conveniente porque envolve só as densidades que o enunciado deu.

Passo 3

Cálculo numérico da porosidade com os dados:
\varepsilon=1-\frac{\rho_{b}}{\rho_{p}}=1-\frac{980}{1500}.
Calculemos passo a passo:
\frac{980}{1500}=\frac{98}{150}=0,653333\ldots
Logo
\varepsilon=1-0,653333\ldots=0,346666\ldots
Arredondando de forma razoável:
\varepsilon\approx 0,3467\quad(\text{ou }0,347).
Observação útil: essa porosidade depende apenas das densidades e, portanto, vale para ambos os casos (cúbicas e cilíndricas) nas mesmas condições de \rho_{b} e \rho_{p}.

Passo 4

Conceito e fórmula da área superficial específica do leito. Definimos a como a área total de superfície de partículas por unidade de volume de leito:
a=\frac{\text{área total das partículas no volume}}{\text{volume do leito}}.áí
Para partículas monodispersas, o número de partículas por volume do leito é
N=\frac{\text{volume sólido por volume de leito}}{V_{p}}=\frac{1-\varepsilon}{V_{p}},ó
onde V_{p} é o volume de uma partícula. A área total por volume do leito é N\cdot A_{p}, com A_{p} área de uma partícula. Assim:
a=\frac{(1-\varepsilon)A_{p}}{V_{p}}.
Também podemos usar 1-\varepsilon=\rho_{b}/\rho_{p} para escrever
a=\frac{\rho_{b}}{\rho_{p}}\cdot\frac{A_{p}}{V_{p}}.
Resumo: para cada forma geométrica precisamos calcular A_{p} e V_{p}, depois aplicar a fórmula acima.

Passo 5

Cálculo para partículas cúbicas. Dimensões e fórmulas:
  • aresta \,L=0,020\\ \mathrm{m}\,;
  • volume da partícula cúbica:
V_{p}=L^{3}=(0,020)^{3}=0,000008\\ \mathrm{m}^{3}=8{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3};
  • área superficial da partícula cúbica:
A_{p}=6L^{2}=6(0,020)^{2}=6(0,0004)=0,0024\\ \mathrm{m}^{2}.
Calcule a razão A_{p}/V_{p}:
\frac{A_{p}}{V_{p}}=\frac{0,0024}{8{,}0\times 10^{-6}}=300\\ \mathrm{m}^{-1}.
Agora aplique a fórmula a=(\rho_{b}/\rho_{p})\,(A_{p}/V_{p}). Já calculamos \rho_{b}/\rho_{p}=0,653333\ldots. Assim:
a_{\text{cubo}}=0,653333\ldots\times 300=196{,}0\\ \mathrm{m}^{-1}.
Portanto a área superficial específica do leito formado por cubos é \,196{,}0\\ \mathrm{m}^{-1}\, (arredondando).

Passo 6

Cálculo para partículas cilíndricas. Dimensões e fórmulas:
  • diâmetro \,D=0,020\\ \mathrm{m}\,, comprimento \,h=1{,}5D=0,030\\ \mathrm{m}\,;
  • volume do cilindro:
V_{p}=\frac{\pi D^{2}}{4}\,h.
Cálculo numérico passo a passo:
D^{2}=(0,020)^{2}=0,0004,
D^{2}\,h=0,0004\times 0,030=0,000012=1{,}2\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3},
V_{p}=\frac{\pi}{4}\times 1{,}2\times 10^{-5}=9{,}42477796\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 9{,}4248\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • área superficial do cilindro (lateral + duas bases):
A_{p}=\pi D h +2\left(\frac{\pi D^{2}}{4}\right)=\pi D\left(h+\frac{D}{2}\right).
Cálculo numérico:
h+\frac{D}{2}=0,030+\frac{0,020}{2}=0,030+0,010=0,040\\ \mathrm{m},
A_{p}=\pi\times 0,020\times 0,040=\pi\times 0,0008=0,00251327412\\ \mathrm{m}^{2}\approx 0,0025133\\ \mathrm{m}^{2}.
Agora a razão A_{p}/V_{p}. Podemos simplificar algebricamente antes de numérica:
\frac{A_{p}}{V_{p}}=\frac{\pi D(h+D/2)}{(\pi/4)D^{2}h}=\frac{4(h+D/2)}{D h}.
Substituindo h=1{,}5D:
h+\frac{D}{2}=1{,}5D+0{,}5D=2{,}0D,
\frac{A_{p}}{V_{p}}=\frac{4\times 2{,}0D}{D\times 1{,}5D}=\frac{8}{1{,}5D}=\frac{8}{1{,}5}\cdot\frac{1}{D}=5{,}333333\ldots\cdot\frac{1}{D}.
Com D=0,020\\ \mathrm{m}:
\frac{A_{p}}{V_{p}}=5{,}333333\ldots\times\frac{1}{0,020}=266{,}666666\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.
Finalmente a área específica do leito:
a_{\text{cilindro}}=\frac{\rho_{b}}{\rho_{p}}\cdot\frac{A_{p}}{V_{p}}=0,653333\ldots\times 266{,}666666\ldots=174{,}222222\ldots\\ \mathrm{m}^{-1}.
Arredondando:
a_{\text{cilindro}}\approx 174{,}2\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (para fixar): a porosidade ficou \approx 0,347 e é a mesma em ambos os casos porque só depende das densidades informadas. A área superficial específica depende da geometria, e encontramos a_{\text{cubo}}=196{,}0\\ \mathrm{m}^{-1} e a_{\text{cilindro}}=174{,}2\\ \mathrm{m}^{-1}. Vai dar pra usar essas fórmulas direto na prova: primeiro calcula \varepsilon pelas densidades; depois calcula A_{p} e V_{p} para a forma dada e aplica a=(1-\varepsilon)A_{p}/V_{p}. Força aí, você já tem um procedimento repetível!

Resposta

\varepsilon=0,3467 (porosidade, válida para ambos os casos)\n
a_{\text{cubo}}=196{,}0\\ \mathrm{m}^{-1}\n
a_{\text{cilindro}}=174{,}2\\ \mathrm{m}^{-1}

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