Leitura Sugerida: Griffiths, 12.2.3 - 12.2.4
Considere duas partículas de massas
e
em rota de colisão, com velocidades
e
. Calcule o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 de duas maneiras:
(a) Obtendo a velocidade relativa entre as partículas e fazendo uso das relações usuais para o momento e a energia;
Considere duas partículas de massas
(a) Obtendo a velocidade relativa entre as partículas e fazendo uso das relações usuais para o momento e a energia;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas $ m_1 $ e $ m_2 $ que estão indo direto uma para a outra. As velocidades delas são $ \boldsymbol{\beta}_1 = \frac{3}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $ e $ \boldsymbol{\beta}_2 = -\frac{4}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $. O objetivo é calcular o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade relativa entre as partículas e usar as fórmulas padrão de momento e energia no contexto da relatividade especial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. Na relatividade especial, a velocidade relativa $ \boldsymbol{\beta}_{rel} $ pode ser encontrada usando a fórmula de adição de velocidades:
Aqui, $ \beta_1 = \frac{3}{5} $ e $ \beta_2 = -\frac{4}{5} $.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a velocidade relativa é $ \beta_{rel} = -\frac{35}{37} $.
Passo 4
Agora que temos a velocidade relativa, vamos calcular o fator de Lorentz $ \gamma $, que é dado por:
Substituindo $ \beta_{rel} = \frac{35}{37} $ (desconsideramos o sinal, pois $ \gamma $ depende do quadrado de $ \beta $):
Passo 5
Com o $ \gamma $ calculado, podemos encontrar a energia $ E $ da partícula 2 no referencial da partícula 1 usando a fórmula relativística:
E o momento $ p $ é dado por:
Como estamos trabalhando com velocidades em termos de $ \beta = \frac{v}{c} $, podemos reescrever o momento como:
Passo 6
Vamos resumir as fórmulas que vamos usar:
- Energia: $ E = \gamma m c^2 $
- Momento: $ p = \gamma m \beta c $
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos. Assumiremos $ c = 1 $ para simplificar, já que as velocidades estão em termos de $ \beta $.
Passo 7
Substituindo $ \gamma = \frac{37}{12} $ e $ \beta_{rel} = \frac{35}{37} $:
- Energia:
- Momento:
Resposta
Então, a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 é $ E = \frac{37}{12} m_2 c^2 $ e o momento é $ p = \frac{35}{12} m_2 c $.