Leitura Sugerida: Griffiths, 12.2.3 - 12.2.4
Considere duas partículas de massas m1 e m2 em rota de colisão, com velocidades beta1=3 / 5 x e beta2=-4 / 5 x. Calcule o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 de duas maneiras:
(a) Obtendo a velocidade relativa entre as partículas e fazendo uso das relações usuais para o momento e a energia;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas $ m_1 $ e $ m_2 $ que estão indo direto uma para a outra. As velocidades delas são $ \boldsymbol{\beta}_1 = \frac{3}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $ e $ \boldsymbol{\beta}_2 = -\frac{4}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $. O objetivo é calcular o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade relativa entre as partículas e usar as fórmulas padrão de momento e energia no contexto da relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. Na relatividade especial, a velocidade relativa $ \boldsymbol{\beta}_{rel} $ pode ser encontrada usando a fórmula de adição de velocidades:
betarel
Aqui, $ \beta_1 = \frac{3}{5} $ e $ \beta_2 = -\frac{4}{5} $.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
betarel = -45 - 351 - (35) (-45) = -751 + 1225 = -753725 = -75 times 2537 = -3537
Então, a velocidade relativa é $ \beta_{rel} = -\frac{35}{37} $.

Passo 4

Agora que temos a velocidade relativa, vamos calcular o fator de Lorentz $ \gamma $, que é dado por:
gamma
Substituindo $ \beta_{rel} = \frac{35}{37} $ (desconsideramos o sinal, pois $ \gamma $ depende do quadrado de $ \beta $):
gamma = 1raiz1 - betarel^2

Passo 5

Com o $ \gamma $ calculado, podemos encontrar a energia $ E $ da partícula 2 no referencial da partícula 1 usando a fórmula relativística:
gamma
E o momento $ p $ é dado por:
E
Como estamos trabalhando com velocidades em termos de $ \beta = \frac{v}{c} $, podemos reescrever o momento como:
E = gamma m c^2

Passo 6

Vamos resumir as fórmulas que vamos usar:
  • Energia: $ E = \gamma m c^2 $
  • Momento: $ p = \gamma m \beta c $
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos. Assumiremos $ c = 1 $ para simplificar, já que as velocidades estão em termos de $ \beta $.

Passo 7

Substituindo $ \gamma = \frac{37}{12} $ e $ \beta_{rel} = \frac{35}{37} $:
  • Energia:
gamma = 3712
  • Momento:
betarel = 3537

Resposta

Então, a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 é $ E = \frac{37}{12} m_2 c^2 $ e o momento é $ p = \frac{35}{12} m_2 c $.

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