Leitura Sugerida: Griffiths, 12.2.3-12.2.4
Reconsidere as partículas do Problema 3 no caso em que m1=m2=m.
(a) Calcule a velocidade do Centro de Massa, betac m, e seu respectivo fator gammac m;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente recalcular a velocidade do Centro de Massa, betacm, e o fator correspondente gammacm, considerando que as duas partículas têm massa igual, ou seja, m1 = m2 = m. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica e um pouco de relatividade para calcular esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Centro de Massa. É um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. Em termos de velocidade, a velocidade do Centro de Massa ( vcm) é a média das velocidades das partículas, ponderada pelas suas massas.
Como as massas são iguais ( m1 = m2 = m), a fórmula fica mais simples.

Passo 3

A fórmula para a velocidade do Centro de Massa é:
vcm = m1 v1 + m2 v2m1 + m2
Como m1 = m2 = m, podemos simplificar:
vcm = m v1 + m v2m + m = v1 + v22
Então, a velocidade do Centro de Massa é a média aritmética das velocidades das duas partículas.

Passo 4

Agora, vamos calcular betacm, que é a velocidade do Centro de Massa em relação à velocidade da luz ( c):
betacm = vcmc = v1 + v22c = v1 + v22c

Passo 5

Por fim, o fator gammacm está relacionado a betacm pela fórmula:
gammacm = 1raiz1 - betacm^2
Então, substituindo betacm:
gammacm = 1raiz1 - (v1 + v22c)^2

Resposta

A velocidade do Centro de Massa é betacm = dfracv1 + v22c e o fator correspondente é gammacm = dfrac1raiz1 - ( dfracv1 + v22c )^2.

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