Leitura Sugerida: Griffiths, 12.1.3
(a) Suponha que em uma competição de salto em distância, um atleta A corre em direção a uma caixa de areia com velocidade
, medida por espectador na arquibancada. Admita que, para esse atleta, a caixa tenha comprimento de 6 m . Qual o comprimento da caixa quando vista pelo espectador, que está em repouso com relação a ela?
(a) Suponha que em uma competição de salto em distância, um atleta A corre em direção a uma caixa de areia com velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um atleta que está correndo em direção a uma caixa de areia numa competição de salto em distância. O atleta está se movendo a uma velocidade de $ \boldsymbol{v} = 0.8,c, \hat{\boldsymbol{x}} $, onde $ c $ é a velocidade da luz. O que a gente precisa descobrir é qual é o comprimento da caixa de areia quando visto pelo espectador que está parado em relação a ela.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de contração do comprimento da teoria da relatividade restrita de Einstein. Basicamente, quando um objeto está se movendo em relação a alguém, ele parece ser mais curto na direção do movimento para essa pessoa. A gente vai precisar calcular o fator de Lorentz ($ \gamma $) para aplicar essa contração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de Lorentz ($ \gamma $). Ele é dado pela fórmula:
Onde:
- $ v $ é a velocidade do objeto,
- $ c $ é a velocidade da luz.
Esse fator nos mostra o quanto o tempo e o espaço são afetados quando algo se move a uma fração significativa da velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator de Lorentz para a velocidade dada:
Substituindo na fórmula:
Então, $ \gamma \approx 1.6667 $.
Passo 4
Sabemos que o atleta, que está se movendo, percebe a caixa de areia com um comprimento contraído de 6 metros. Queremos encontrar o comprimento da caixa no referencial do espectador, que está em repouso em relação à caixa.
A relação entre o comprimento próprio ($ L_0
L $) é:
Aqui, $ L_0 $ é o comprimento da caixa no referencial do espectador (que queremos encontrar), e $ L $ é o comprimento medido pelo atleta.
Passo 5
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ L_0 $:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Então, o comprimento da caixa de areia visto pelo espectador é 10 metros.