Leitura Sugerida: Griffiths, 12.1.3
(a) Suponha que em uma competição de salto em distância, um atleta A corre em direção a uma caixa de areia com velocidade v=0.8 c x, medida por espectador na arquibancada. Admita que, para esse atleta, a caixa tenha comprimento de 6 m . Qual o comprimento da caixa quando vista pelo espectador, que está em repouso com relação a ela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um atleta que está correndo em direção a uma caixa de areia numa competição de salto em distância. O atleta está se movendo a uma velocidade de $ \boldsymbol{v} = 0.8,c, \hat{\boldsymbol{x}} $, onde $ c $ é a velocidade da luz. O que a gente precisa descobrir é qual é o comprimento da caixa de areia quando visto pelo espectador que está parado em relação a ela.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de contração do comprimento da teoria da relatividade restrita de Einstein. Basicamente, quando um objeto está se movendo em relação a alguém, ele parece ser mais curto na direção do movimento para essa pessoa. A gente vai precisar calcular o fator de Lorentz ($ \gamma $) para aplicar essa contração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de Lorentz ($ \gamma $). Ele é dado pela fórmula:
gamma
Onde:
  • $ v $ é a velocidade do objeto,
  • $ c $ é a velocidade da luz.
Esse fator nos mostra o quanto o tempo e o espaço são afetados quando algo se move a uma fração significativa da velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator de Lorentz para a velocidade dada:
v = 0.8,c
Substituindo na fórmula:
gamma = 1raiz1 - (0.8,cc)^2 = 1raiz1 - 0.64 = 1raiz0.36 = 10.6 approx 1.6667
Então, $ \gamma \approx 1.6667 $.

Passo 4

Sabemos que o atleta, que está se movendo, percebe a caixa de areia com um comprimento contraído de 6 metros. Queremos encontrar o comprimento da caixa no referencial do espectador, que está em repouso em relação à caixa.
A relação entre o comprimento próprio ($ L_0 L0 í L $) é:
L
Aqui, $ L_0 $ é o comprimento da caixa no referencial do espectador (que queremos encontrar), e $ L $ é o comprimento medido pelo atleta.

Passo 5

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ L_0 $:
L0
Substituindo os valores que temos:
L0 = gamma times L

Resposta

Então, o comprimento da caixa de areia visto pelo espectador é 10 metros.

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