Leitura Sugerida: Griffiths, 12.2.3 - 12.2.4
Considere duas partículas de massas
e
em rota de colisão, com velocidades
e
. Calcule o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 de duas maneiras:
(b) Utilizando as transformações de Lorentz.
Considere duas partículas de massas
(b) Utilizando as transformações de Lorentz.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado nos apresenta duas partículas com massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $ que estão se movendo uma em direção à outra. As velocidades delas são dadas por $ \boldsymbol{\beta}{\mathbf{1}} = \frac{3}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $ e $ \boldsymbol{\beta}{\mathbf{2}} = -\frac{4}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $. Nosso objetivo aqui é calcular o momento e a energia da partícula 2 no referencial da partícula 1, usando as transformações de Lorentz. Para isso, vamos precisar entender como as velocidades e energias se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no “referencial da partícula 1”. Isso quer dizer que estamos mudando nosso ponto de vista para acompanhar a partícula 1, ou seja, estamos observando tudo a partir de um sistema de referência que se move com a velocidade da partícula 1.
Sabemos que as transformações de Lorentz nos permitem converter as coordenadas de espaço e tempo (e também de energia e momento) de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante relativa ao primeiro.
Para aplicar as transformações de Lorentz, precisamos conhecer a velocidade relativa entre os dois referenciais. Neste caso, o referencial 1 está se movendo com $ \boldsymbol{\beta}_{\mathbf{1}} = \frac{3}{5} \hat{\boldsymbol{x}} $ em relação ao referencial inicial (digamos, o referencial do laboratório), e queremos transformar para o referencial 1.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a velocidade da partícula 2 no referencial da partícula 1. Para isso, usamos a fórmula da adição de velocidades relativística:
Onde:
- $ \boldsymbol{\beta}_{2} = -\frac{4}{5} $
- $ \boldsymbol{\beta}_{1} = \frac{3}{5} $
Substituindo:
Então, a velocidade da partícula 2 no referencial da partícula 1 é $ \boldsymbol{\beta}’ = -\frac{35}{37} $.
Passo 4
Agora que temos a velocidade relativa, podemos calcular o fator de Lorentz $ \gamma $ para essa velocidade:
Passo 5
Com o fator de Lorentz $ \gamma = \frac{37}{12} $ e a velocidade $ \boldsymbol{\beta}’ = -\frac{35}{37} $, podemos calcular o momento relativístico $ \mathbf{p}’ $ e a energia relativística $ E’ $ da partícula 2 no referencial da partícula 1.
As fórmulas são:
Aqui, $ c $ é a velocidade da luz. Vamos simplificar as expressões, já que estamos trabalhando em termos de $ c $.
Substituindo os valores:
Passo 6
Então, resumindo os cálculos:
- O momento da partícula 2 no referencial da partícula 1 é:
- A energia da partícula 2 no referencial da partícula 1 é:
Resposta
No referencial da partícula 1, a partícula 2 possui momento igual a $ \mathbf{p}’ = -\frac{35}{12} m_{2} c $ e energia igual a $ E’ = \frac{37}{12} m_{2} c^{2} $.