Leitura Sugerida: Griffiths, 12.3.1 - 12.3.2
(a) Mostre que as quantidades E cdot B e |E|^2-c^2|B|^2 são invariantes de Lorentz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as quantidades E cdot B e |E|^2 - c^2|B|^2 são invariantes de Lorentz. Isso está relacionado ao conteúdo de Eletromagnetismo, especificamente nas transformações de Lorentz que descrevem como os campos elétrico ( E) e magnético ( B) se comportam quando mudamos de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante em relação ao primeiro. Para resolver isso, vamos precisar entender as transformações de Lorentz para os campos elétrico e magnético e aplicar essas transformações nas quantidades mencionadas para verificar se elas permanecem as mesmas em todos os referenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos de um referencial para outro que se move com velocidade constante. Suponha que temos dois referenciais: S e S', onde S' se move a uma velocidade v ao longo do eixo x em relação a S.
As transformações de Lorentz para os campos são dadas por:
E'x = Ex
E'y = gamma (Ey - v Bz)
E'z = gamma (Ez + v By)
B'x = Bx
B'y = gamma (By + vc^2 Ez)
B'z = gamma (Bz - vc^2 Ey)
onde gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz.

Passo 3

Vamos começar mostrando que E cdot B é um invariante de Lorentz. O produto escalar dos campos elétrico e magnético é dado por:
E cdot B = Ex Bx + Ey By + Ez Bz
Precisamos mostrar que E' cdot B' = E cdot B. Vamos calcular E' cdot B' usando as transformações de Lorentz:
E' cdot B' = E'x B'x + E'y B'y + E'z B'z
Substituindo as transformações:
E'x B'x = Ex Bx
E'y B'y = gamma (Ey - v Bz) gamma (By + vc^2 Ez) = gamma^2 (Ey By + vc^2 Ey Ez - v Bz By - v^2c^2 Bz Ez)
E'z B'z = gamma (Ez + v By) gamma (Bz - vc^2 Ey) = gamma^2 (Ez Bz - vc^2 Ey Ez + v By Bz - v^2c^2 By Ey)
Somando tudo:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma^2 (Ey By + vc^2 Ey Ez - v Bz By - v^2c^2 Bz Ez) + gamma^2 (Ez Bz - vc^2 Ey Ez + v By Bz - v^2c^2 By Ey)
Observamos que os termos com v se cancelam:
E' cdot B' = Ex Bx + gamma^2 (Ey By + Ez Bz) = E cdot B
Portanto, E cdot B é invariante de Lorentz.

Passo 4

Agora vamos mostrar que |E|^2 - c^2|B|^2 também é um invariante de Lorentz. Primeiro, calculamos essa quantidade no referencial S:
|E|^2 - c^2|B|^2 = Ex^2 + Ey^2 + Ez^2 - c^2 (Bx^2 + By^2 + Bz^2)
Precisamos mostrar que no referencial S' temos:
|E'|^2 - c^2|B'|^2 = |E|^2 - c^2|B|^2
Vamos calcular |E'|^2 e |B'|^2 usando as transformações de Lorentz:
Agora, vamos expandir esses quadrados:
|E'|^2 = E'x^2 + E'y^2 + E'z^2 = Ex^2 + gamma^2 (Ey - v Bz)^2 + gamma^2 (Ez + v By)^2
|B'|^2 = B'x^2 + B'y^2 + B'z^2 = Bx^2 + gamma^2 (By + vc^2 Ez)^2 + gamma^2 (Bz - vc^2 Ey)^2
Subtraindo |E'|^2 = Ex^2 + gamma^2 (Ey^2 - 2 v Ey Bz + v^2 Bz^2) + gamma^2 (Ez^2 + 2 v Ez By + v^2 By^2) de |B'|^2 = Bx^2 + gamma^2 (By^2 + 2 vc^2 By Ez + v^2c^4 Ez^2) + gamma^2 (Bz^2 - 2 vc^2 Bz Ey + v^2c^4 Ey^2) :
c^2 |B'|^2
Simplificando os termos:
|E'|^2
Note que |E'|^2 - c^2 |B'|^2 = Ex^2 + gamma^2 (Ey^2 + Ez^2) + gamma^2 v^2 (Bz^2 + By^2) - c^2 Bx^2 - c^2 gamma^2 (By^2 + Bz^2) - c^2 gamma^2 (v^2c^4 Ez^2 + v^2c^4 Ey^2) , e |E'|^2 - c^2 |B'|^2 = Ex^2 + gamma^2 (Ey^2 + Ez^2) - c^2 Bx^2 + gamma^2 v^2 (Bz^2 + By^2) - c^2 gamma^2 (By^2 + Bz^2) - gamma^2 v^2c^2 (Ez^2 + Ey^2) . Isso vai cancelar alguns termos:
gamma^2 v^2 = gamma^2 v^2
gamma^2 = 11 - v^2c^2
|E'|^2 - c^2 |B'|^2 = Ex^2 + gamma^2 (Ey^2 + Ez^2 - v^2c^2 Ey^2 - v^2c^2 Ez^2) - c^2 Bx^2
Multiplicando e dividindo por = Ex^2 + gamma^2 (Ey^2 (1 - v^2c^2) + Ez^2 (1 - v^2c^2)) - c^2 Bx^2 :
= Ex^2 + Ey^2 + Ez^2gamma^2 - c^2 Bx^2
Portanto, gamma^2 também é invariante de Lorentz.

Resposta

Assim, mostramos que tanto E cdot B quanto |E|^2 - c^2|B|^2 permanecem iguais em qualquer referencial relacionado por uma transformação de Lorentz, ou seja, são invariantes de Lorentz.

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