Leitura Sugerida: Griffiths, 12.3.1 - 12.3.2
(a) Mostre que as quantidades
e
são invariantes de Lorentz.
(a) Mostre que as quantidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as quantidades
e
são invariantes de Lorentz. Isso está relacionado ao conteúdo de Eletromagnetismo, especificamente nas transformações de Lorentz que descrevem como os campos elétrico (
) e magnético (
) se comportam quando mudamos de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante em relação ao primeiro. Para resolver isso, vamos precisar entender as transformações de Lorentz para os campos elétrico e magnético e aplicar essas transformações nas quantidades mencionadas para verificar se elas permanecem as mesmas em todos os referenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como os campos elétrico e magnético se transformam quando mudamos de um referencial para outro que se move com velocidade constante. Suponha que temos dois referenciais:
e
, onde
se move a uma velocidade
ao longo do eixo x em relação a
.
As transformações de Lorentz para os campos são dadas por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
é um invariante de Lorentz. O produto escalar dos campos elétrico e magnético é dado por:
Precisamos mostrar que
. Vamos calcular
usando as transformações de Lorentz:
Substituindo as transformações:
Somando tudo:
Observamos que os termos com
se cancelam:
Portanto,
é invariante de Lorentz.
Passo 4
Agora vamos mostrar que
também é um invariante de Lorentz. Primeiro, calculamos essa quantidade no referencial
:
Precisamos mostrar que no referencial
temos:
Vamos calcular
e
usando as transformações de Lorentz:
Agora, vamos expandir esses quadrados:
Subtraindo
de
:
Simplificando os termos:
Note que
, e
. Isso vai cancelar alguns termos:
Multiplicando e dividindo por
:
Portanto,
também é invariante de Lorentz.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
permanecem iguais em qualquer referencial relacionado por uma transformação de Lorentz, ou seja, são invariantes de Lorentz.