Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada inclinada. Na base de um morro ela está girando a 25.0 rad / s. O raio da roda é igual a 0,600 m e seu momento de inércia em torno do eixo de rotação é igual a 0,800 M R^2. O atrito realiza trabalho sobre a roda à medida que ela sobe o morro até parar, a uma altura h acima da base do morro; esse trabalho possui módulo igual a 3500 J . Calcule h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma roda que sai do eixo de um caminhão e começa a rolar por uma estrada inclinada até parar no topo de um morro. A gente vai usar conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional), trabalho realizado pela força de atrito e energia potencial gravitacional para encontrar a altura que a roda alcança. Precisamos saber a massa da roda, sua velocidade angular inicial, o raio, o momento de inércia e o trabalho feito pelo atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa da roda. Sabemos que o peso m = Pg = 392 , N9,8 , m/s^2 = 40 , kg é 392 N e que o peso é dado por , onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da roda. Como ela está rolando sem deslizar, temos tanto energia cinética translacional quanto rotacional. A energia cinética total Ecin = 12 m v^2 + 12 I omega^2 é:
v = 25 , rad/s times 0,600 , m = 15 , m/s
Onde:
  • é a massa (40 kg),
  • é a velocidade linear,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular (25 rad/s).
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia I = 0,800 times 40 , kg times (0,600 , m)^2 = 0,800 times 40 times 0,36 = 11,52 , kg cdot m^2 . Foi dado que .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia cinética total:
Ecin = 12 times 40 , kg times (15 , m/s)^2 + 12 times 11,52 , kg cdot m^2 times (25 , rad/s)^2
Calculando cada parte:
12 times 40 times 225 = 4500 , J
12 times 11,52 times 625 = 3600 , J
Então,
Ecin = 4500 , J + 3600 , J = 8100 , J

Passo 6

O trabalho realizado pelo atrito é de 3500 J, que vai diminuir a energia total da roda. No topo do morro, a roda terá apenas energia potencial gravitacional Ecin - Trabalho do atrito = Ep .
A conservação de energia nos dá:
8100 , J - 3500 , J = 40 , kg times 9,8 , m/s^2 times h
Substituindo os valores:
4600 , J = 392 , N times h

Passo 7

Agora, resolvemos para h = 4600 , J392 , N approx 11,73 , m :

Resposta

A altura que a roda alcança é aproximadamente 11,7 metros.

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