Lembramos que para todo temos e . Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) : dica se e se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série , depois de achar seu raio de convergência, usando as somas conhecidas de , e .
Passo 2
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em :
Como isso vale para todo x, o raio de convergência é R=+infty, isto é, a série converge para todo xinR.
Passo 3
Definimos primeiro a série auxiliar
S(x)=sumn=0^inftyx^n(2n+1)!
Para x>=0, note que, tomando t=raizx, temos a expansão de sinh t=sumn=0^inftyt^2n+1(2n+1)!. Dividindo por t,
sinh tt=sumn=0^inftyt^2n(2n+1)!=sumn=0^inftyx^n(2n+1)!=S(x)
Logo,
S(x)=sinh(raizx)raizx, x>=0
Passo 4
Para x<0, escrevemos x=-u com u>0 e tomamos t=raizu. Então
Calculamos S'(x) em cada ramo e multiplicamos por x. Para x>0, com t=raizx e S(x)=sinh t/t, a derivada dá
T(x)=raizx,cosh(raizx)-sinh(raizx)2raizx
Para x<0, com t=raiz-x e S(x)=sin t/t, obtemos
T(x)=sin(raiz-x)-raiz-x,cos(raiz-x)2raiz-x
Resposta
Para todo xinR,
sumn=0^inftyn(2n+1)!x^n= raizx,cosh(raizx)-sinh(raizx)2raizx,&x>0, 0,&x=0, sin(raiz-x)-raiz-x,cos(raiz-x)2raiz-x,&x<0 O raio de convergência é R=+infty.