Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!= sen x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
: x=(raizx)^2 dica x >= 0 se x=(raiz-x)^2 e se

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série T(x)=sumn=0^infty n(2n+1)!x^n, depois de achar seu raio de convergência, usando as somas conhecidas de e^x, cos x e sin x.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão em an=n(2n+1)!x^n:
limntoinfty|an+1an|= limntoinftyn+1ncdot|x|cdot(2n+1)!(2n+3)! =|x|cdotlimntoinftyn+1ncdot1(2n+3)(2n+2)=0
Como isso vale para todo x, o raio de convergência é R=+infty, isto é, a série converge para todo xinR.

Passo 3

Definimos primeiro a série auxiliar
S(x)=sumn=0^inftyx^n(2n+1)!
Para x>=0, note que, tomando t=raizx, temos a expansão de sinh t=sumn=0^inftyt^2n+1(2n+1)!. Dividindo por t,
sinh tt=sumn=0^inftyt^2n(2n+1)!=sumn=0^inftyx^n(2n+1)!=S(x)
Logo,
S(x)=sinh(raizx)raizx, x>=0

Passo 4

Para x<0, escrevemos x=-u com u>0 e tomamos t=raizu. Então
S(x)=sumn=0^infty(-u)^n(2n+1)!=sumn=0^infty(-1)^nu^n(2n+1)!= racsin tt
isto é,
S(x)=sin(raiz-x)raiz-x, x<0

Passo 5

Para obter T(x)=sum n x^n/(2n+1)!, usamos que
T(x)=x,S'(x)
Calculamos S'(x) em cada ramo e multiplicamos por x. Para x>0, com t=raizx e S(x)=sinh t/t, a derivada dá
T(x)=raizx,cosh(raizx)-sinh(raizx)2raizx
Para x<0, com t=raiz-x e S(x)=sin t/t, obtemos
T(x)=sin(raiz-x)-raiz-x,cos(raiz-x)2raiz-x

Resposta

Para todo xinR,
sumn=0^inftyn(2n+1)!x^n= raizx,cosh(raizx)-sinh(raizx)2raizx,&x>0, 0,&x=0, sin(raiz-x)-raiz-x,cos(raiz-x)2raiz-x,&x<0 O raio de convergência é R=+infty.

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