Lembramos que para todo temos . Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
Passo 1
Estamos com a série de potências e precisamos achar o seu raio de convergência e, em seguida, uma expressão fechada para a soma no domínio de convergência. Esse é um exercício de séries de potências e uso de séries conhecidas (geométrica e da função logaritmo).
Passo 2
Note que em teríamos divisão por zero, então o índice efetivo da soma vai de até o infinito. Para determinar o raio, aplicamos o teste da razão em :
Logo, a série converge se |x|<1.
Passo 3
Reindexamos definindo m=n-1, de modo que quando n=2 temos m=1. A soma fica:
sumn=2^inftyx^nn-1 =summ=1^inftyx^m+1m
Passo 4
Fatorando x fora da soma, obtemos:
xsumm=1^inftyx^mm
Sabemos que, para |x|<1, vale a série do logaritmo:
summ=1^inftyx^mm=-ln(1-x),
que se obtém integrando termo a termo a série geométrica.
Passo 5
Portanto, dentro do raio de convergência |x|<1, a soma da série original é dada por:
sumn=1^+inftyx^nn-1=-xln(1-x)
Resposta
A série converge para |x|<1 e tem soma -x\ln(1-x).