Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=1^+infty 1n-1 x^n

Passo 1

Estamos com a série de potências sumn=1^+infty x^nn-1 e precisamos achar o seu raio de convergência e, em seguida, uma expressão fechada para a soma no domínio de convergência. Esse é um exercício de séries de potências e uso de séries conhecidas (geométrica e da função logaritmo).

Passo 2

Note que em n=1 teríamos divisão por zero, então o índice efetivo da soma vai de n=2 até o infinito. Para determinar o raio, aplicamos o teste da razão em an=x^nn-1:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1/nx^n/(n-1)| =|x|limntoinftyn-1n =|x|
Logo, a série converge se |x|<1.

Passo 3

Reindexamos definindo m=n-1, de modo que quando n=2 temos m=1. A soma fica:
sumn=2^inftyx^nn-1 =summ=1^inftyx^m+1m

Passo 4

Fatorando x fora da soma, obtemos:
xsumm=1^inftyx^mm
Sabemos que, para |x|<1, vale a série do logaritmo:
summ=1^inftyx^mm=-ln(1-x),
que se obtém integrando termo a termo a série geométrica.

Passo 5

Portanto, dentro do raio de convergência |x|<1, a soma da série original é dada por:
sumn=1^+inftyx^nn-1=-xln(1-x)

Resposta

A série converge para |x|<1 e tem soma -x\ln(1-x).

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